Questão 180 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos (propriedades operatórias) e Funções Logarítmicas aplicadas
• ⚡ Nível: Médio — exige transformar diferença de magnitudes em razão de energias usando propriedades de logaritmo, sem cálculo numérico complexo
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de situações-problema com logaritmos (Competência 5/Habilidade H21 da Matriz ENEM) aplicada a um contexto de Física (escala Richter)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dada a fórmula que relaciona magnitude e energia liberada em um terremoto, encontre como E₁ (energia do terremoto do Japão, magnitude 9,0) se relaciona matematicamente com E₂ (energia do terremoto da China, magnitude 7,0)."
• Palavras-chave decisivas: magnitude 9,0, magnitude 7,0, E = E(E₀) (fórmula logarítmica dada)
• Armadilha típica: achar que, como a magnitude aumentou 2 unidades (de 7 para 9), a energia também dobra ou aumenta "linearmente" (erro da alternativa A) — a escala Richter é logarítmica, não linear, então pequenas variações de magnitude escondem variações gigantescas de energia.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de isolar a razão E₁/E₂ a partir da diferença M₁ − M₂, aplicando corretamente a propriedade do logaritmo do quociente (subtração de logaritmos = log do quociente).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Escala Richter (contexto físico): mede a magnitude de um terremoto a partir da energia liberada, usando uma relação logarítmica — por isso, cada unidade a mais na escala representa uma energia muitas vezes maior, não apenas "um pouco mais".
• Fórmula da questão: M = (2/3) · log₁₀(E/E₀), em que M é a magnitude, E é a energia liberada (em kWh) e E₀ é uma constante positiva de referência.
• Propriedade do quociente de logaritmos: log(a) − log(b) = log(a/b). É essa propriedade que permite eliminar a constante E₀ ao subtrair as duas equações de magnitude.
• Definição de logaritmo: log₁₀(x) = k ⟺ x = 10^k. Usada no fim para "desfazer" o logaritmo e isolar a razão E₁/E₂.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "terremoto de magnitude 9,0 [...] no Japão" → define M₁ = 9,0, associado a E₁.
• Evidência 2: "terremoto, de magnitude 7,0 [...] em Sichuan" → define M₂ = 7,0, associado a E₂.
• Evidência 3: "M = (2/3) · log₁₀(E/E₀), sendo E a energia [...] e E₀ uma constante real positiva" → fórmula-modelo válida para ambos os terremotos, com a mesma constante E₀ nos dois casos (isso é o que permite cancelá-la).
• Síntese: o problema fornece duas magnitudes conhecidas (9,0 e 7,0) geradas pela mesma fórmula logarítmica com a mesma constante E₀. Basta escrever a equação para cada terremoto, subtrair uma da outra para eliminar E₀ e log₁₀(E₀), e isolar a razão E₁/E₂.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever a equação de cada terremoto

Aplicando a fórmula M = (2/3) · log₁₀(E/E₀) para cada evento:

Japão: 9,0 = (2/3) · log₁₀(E₁/E₀)

China: 7,0 = (2/3) · log₁₀(E₂/E₀)

Subpasso 4.2 — Subtrair as duas equações para eliminar E₀

Subtraindo a segunda da primeira:

9,0 − 7,0 = (2/3) · log₁₀(E₁/E₀) − (2/3) · log₁₀(E₂/E₀)

2 = (2/3) · [log₁₀(E₁/E₀) − log₁₀(E₂/E₀)]

Pela propriedade do quociente de logaritmos, log₁₀(E₁/E₀) − log₁₀(E₂/E₀) = log₁₀[(E₁/E₀) ÷ (E₂/E₀)] = log₁₀(E₁/E₂), pois a constante E₀ se cancela na divisão:

2 = (2/3) · log₁₀(E₁/E₂)

Subpasso 4.3 — Isolar E₁/E₂ e verificar

Multiplicando os dois lados por 3/2:

log₁₀(E₁/E₂) = 2 × (3/2) = 3

Pela definição de logaritmo, log₁₀(E₁/E₂) = 3 significa que E₁/E₂ = 10³. Logo:

E₁ = 10³ · E₂

Verificação de sentido físico: o terremoto do Japão (magnitude 9,0) liberou mil vezes mais energia que o de Sichuan (magnitude 7,0), o que é coerente com a natureza logarítmica da escala Richter (cada 2 pontos a mais correspondem a 10³ vezes mais energia, já que o expoente do log é 2/3). Esse resultado bate exatamente com a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) E₁ = E₂ + 2

❌ Incorreta: trata a relação entre as energias como se fosse linear e aditiva (soma de 2), ignorando completamente que a fórmula dada é logarítmica. Essa alternativa reproduz o erro de confundir a diferença de magnitudes (2 unidades na escala Richter) com uma diferença direta nas energias — mas a escala Richter existe justamente para "comprimir" variações de energia astronomicamente grandes em uma escala numérica pequena.

B) E₁ = 10² · E₂

❌ Incorreta: quem calcula log₁₀(E₁/E₂) = 2 (esquecendo de multiplicar pelo inverso de 2/3, ou seja, esquecendo de "desfazer" o coeficiente 2/3 da fórmula) chega a essa razão. É o erro de tratar a fórmula como se fosse M = log₁₀(E/E₀), sem o fator 2/3 que a questão explicita.

C) E₁ = 10³ · E₂

✅ Correta: é exatamente o resultado obtido subtraindo as equações de magnitude, aplicando a propriedade do logaritmo do quociente e isolando E₁/E₂ = 10^[(M₁−M₂)×3/2] = 10^(2×1,5) = 10³.

D) E₁ = 10^(9/7) · E₂

❌ Incorreta: surge de um erro comum — dividir diretamente as magnitudes (9/7) e usar esse valor como expoente de 10, em vez de trabalhar com a diferença das magnitudes (9 − 7) dentro da propriedade logarítmica correta. Confunde razão de magnitudes com diferença de magnitudes.

E) E₁ = (9/7) · E₂

❌ Incorreta: comete o mesmo erro de dividir as magnitudes (9/7), mas ainda pior, trata esse valor como um fator multiplicativo direto sobre a energia, sem nenhuma relação com a estrutura logarítmica da fórmula fornecida. É a alternativa mais distante do raciocínio correto.

🏆 Gabarito: C — a subtração das equações de magnitude elimina a constante E₀ e, pela propriedade do logaritmo do quociente, mostra que E₁ = 10³ · E₂: o terremoto do Japão liberou mil vezes mais energia que o de Sichuan.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa C respeita a estrutura logarítmica da fórmula M = (2/3)·log₁₀(E/E₀): a diferença de 2,0 pontos entre as magnitudes se traduz em 10³ vezes mais energia, e nenhuma outra alternativa preserva corretamente essa transformação.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextualizar logaritmos em fenômenos naturais (terremotos, som em decibéis, pH, crescimento populacional) justamente para testar se o estudante entende por que se usa uma escala logarítmica — comprimir variações extremas em números pequenos e manejáveis.
• Generalização: sempre que uma grandeza (magnitude, nível sonoro, pH) for dada por uma fórmula do tipo Y = k·log(X/X₀), a razão entre dois valores de X se obtém subtraindo as equações para cancelar a constante e depois "desfazendo" o logaritmo com uma potência de base 10 (ou da base do log usado).
• Dica de eliminação rápida: descarte de cara qualquer alternativa que trate a relação como soma ou razão direta das magnitudes (como A, D e E) — se a fórmula tem "log" nela, a resposta quase sempre envolve uma potência de 10, nunca uma soma ou fração simples das magnitudes.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões sobre nível de intensidade sonora em decibéis (β = 10·log(I/I₀)) e sobre pH (pH = −log[H⁺]) — domine a manipulação de log(a) − log(b) = log(a/b) e ela resolve todas essas variações.