Questão 137 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Razão de escala e variação percentual
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar duas transformações lineares sucessivas (escala e desconto percentual) sem confundi-las
• 🎯 Tema/Habilidade: Escalas em desenho técnico e porcentagem como fator multiplicativo (competência de grandezas e medidas do ENEM)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre as três dimensões finais do desenho impresso, depois que ele passou pela escala 1:8 e, em seguida, foi reduzido mais 20% pela impressora."
• Palavras-chave decisivas: escala 1 : 8, reduzida em 20%, respectivamente
• Armadilha típica: parar na primeira transformação (aplicar só a escala e esquecer a redução da impressora) ou tratar "reduzida em 20%" como se o desenho ficasse "reduzido para 20%" do tamanho, em vez de perder 20% do que já tinha.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de aplicar duas reduções lineares em sequência — a razão de escala do projeto (1:8) e o fator percentual de impressão (0,8) — mantendo a proporcionalidade nas três dimensões simultaneamente.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Escala em desenho técnico: é uma razão constante entre uma medida no desenho e a medida real correspondente. Escala 1:8 significa que 1 cm no papel representa 8 cm no objeto real, logo medida do desenho = medida real ÷ 8.
• Redução percentual como fator multiplicativo: "reduzir um valor em 20%" significa multiplicá-lo por (1 − 0,20) = 0,80. É diferente de "reduzir para 20%", que multiplicaria por 0,20.
• Composição de transformações lineares: quando duas reduções proporcionais agem sobre a mesma grandeza, o efeito final é o produto dos dois fatores, podendo ser aplicado em qualquer ordem (propriedade comutativa da multiplicação), desde que nenhuma etapa seja esquecida ou invertida.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "desenho elaborado na escala 1 : 8" → cada centímetro do desenho representa 8 cm do móvel real; portanto, a primeira transformação é dividir cada dimensão real por 8.
• Evidência 2: "configurou a impressora para que a figura fosse reduzida em 20%" → essa redução incide sobre o desenho já em escala (não sobre o móvel real), e "reduzida em 20%" equivale a multiplicar por 0,80 (restam 80% do tamanho anterior).
• Síntese: são duas operações em cadeia sobre as mesmas três dimensões (altura, largura, profundidade): primeiro ÷8 (escala do projeto), depois ×0,8 (ajuste da impressora). O resultado final é o produto dos dois fatores aplicado a cada medida original do guarda-roupa.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Aplicar a escala 1:8 às três dimensões reais

Dimensões reais do guarda-roupa: altura = 220 cm, largura = 120 cm, profundidade = 50 cm.

Dividindo cada uma por 8:

• Altura: 220 ÷ 8 = 27,5 cm
• Largura: 120 ÷ 8 = 15,0 cm
• Profundidade: 50 ÷ 8 = 6,25 cm

Esse seria o desenho antes do ajuste da impressora.

Subpasso 4.2 — Aplicar a redução de 20% (fator 0,8) sobre o desenho já em escala

• Altura: 27,5 × 0,8 = 22,0 cm
• Largura: 15,0 × 0,8 = 12,0 cm
• Profundidade: 6,25 × 0,8 = 5,0 cm

Atalho elegante: como as duas operações são multiplicativas, é possível combiná-las em um único fator global antes de aplicar às medidas reais:

fator global = (1 ÷ 8) × 0,8 = 0,8 ÷ 8 = 0,1

Ou seja, o desenho final equivale exatamente a dividir cada dimensão real por 10:

• 220 ÷ 10 = 22,0 cm
• 120 ÷ 10 = 12,0 cm
• 50 ÷ 10 = 5,0 cm

Os dois caminhos (passo a passo ou fator combinado) chegam ao mesmo resultado, confirmando a consistência da conta.

Subpasso 4.3 — Verificação

Os valores obtidos — altura 22,00 cm, largura 12,00 cm e profundidade 5,00 cm — batem exatamente com os números da alternativa A. Como a razão entre altura, largura e profundidade do desenho (22 : 12 : 5) é proporcional à razão original (220 : 120 : 50 = 22 : 12 : 5), a forma do guarda-roupa foi preservada, como deveria ser em qualquer redução de escala.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 22,00 cm, 12,00 cm e 5,00 cm.

✅ Correta: resulta de aplicar corretamente as duas transformações em sequência — escala 1:8 (÷8) seguida da redução de 20% da impressora (×0,8), equivalente ao fator global 1/10 sobre as dimensões reais.

B) 27,50 cm, 15,00 cm e 6,25 cm.

❌ Incorreta: é exatamente o resultado de aplicar apenas a escala 1:8 (220÷8, 120÷8, 50÷8) e esquecer completamente a segunda etapa — a redução de 20% feita pela impressora. Quem marca essa alternativa parou a leitura do problema antes do final do enunciado.

C) 34,37 cm, 18,75 cm e 7,81 cm.

❌ Incorreta: corresponde a pegar os valores já corretos da escala (27,5; 15; 6,25) e dividir por 0,8 em vez de multiplicar (27,5 ÷ 0,8 = 34,375). Esse erro inverte o sentido da operação percentual: dividir por 0,8 é o procedimento para descobrir "de que valor original, ao ser reduzido em 20%, eu chegaria a este número" — o oposto do que o comando pede, que é reduzir o desenho, não ampliá-lo.

D) 35,20 cm, 19,20 cm e 8,00 cm.

❌ Incorreta: equivale a usar uma escala 1:5 (220÷5=44, depois ×0,8=35,2) em vez da escala 1:8 informada no enunciado — um deslize que confunde o percentual "20%" (= 1/5) citado na questão com a própria razão de escala do projetista, misturando os dois dados numéricos do problema.

E) 44,00 cm, 24,00 cm e 10,00 cm.

❌ Incorreta: é obtida multiplicando as dimensões reais diretamente por 0,2 (220×0,2=44), ou seja, ignora por completo a escala 1:8 do desenho e interpreta erradamente "reduzida em 20%" como "reduzida para 20%" do tamanho original — uma armadilha clássica de interpretação de porcentagem, que troca "perder 20%" por "restar apenas 20%".

🏆 Gabarito: A — é o único conjunto de medidas que aplica corretamente as duas transformações sucessivas (escala 1:8 e redução de 20%) na ordem e no sentido pedidos pelo enunciado, equivalendo ao fator global de 1/10 sobre as dimensões reais.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa A combina corretamente ÷8 (escala) e ×0,8 (redução de 20%), resultando no fator único 1/10 aplicado às três dimensões reais — todas as demais alternativas isolam, invertem ou trocam uma das duas operações.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora testar "porcentagens e escalas em cadeia", em que o candidato precisa aplicar dois ou mais fatores multiplicativos sucessivos (descontos, escalas, aumentos) sobre a mesma grandeza, sem perder nenhuma etapa nem inverter o sentido de alguma delas.
• Generalização: sempre que houver duas ou mais transformações proporcionais em sequência, transforme cada uma em um fator multiplicativo (escala = 1/n; redução de x% = (1 − x/100); aumento de x% = (1 + x/100)) e multiplique todos os fatores entre si antes de aplicar ao valor original — isso evita erros de ordem e permite conferir a conta por dois caminhos diferentes.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o fator combinado (aqui, 1/8 × 0,8 = 1/10). Se o resultado bater com "dividir por 10", basta checar mentalmente 220÷10=22 e já é possível eliminar C, D e E, que fogem visivelmente dessa proporção; B se elimina por manter os valores "grandes demais", sinal de que faltou uma redução.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de maquetes e mapas (razão de escala) e em questões de desconto sucessivo em preços (ex.: dois descontos de 10% não equivalem a um desconto de 20%) — ambos exigem tratar porcentagens e escalas como fatores multiplicativos, nunca como somas diretas.