Questão 169 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (áreas de triângulo e trapézio) aplicada à Estatística (Curva de Lorenz e Índice de Gini)
• ⚡ Nível: Difícil — exige traduzir um contexto socioeconômico em áreas geométricas variáveis e resolver uma equação a partir da leitura cuidadosa do gráfico.
• 🎯 Tema/Habilidade: Interpretação de gráficos e cálculo de áreas de figuras planas para resolver um problema de concentração de renda (Índice de Gini) — competência de modelar matematicamente uma situação real.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual deve ser o novo percentual da massa salarial recebido pelos 10% de funcionários com maior salário para que o Índice de Gini da empresa passe a valer 0,3?"
• Palavras-chave decisivas: Índice de Gini = A/(A+B), abscissa de P igual a 90, parcela recebida pelos 10% de maior salário
• Armadilha típica: confundir a ordenada do ponto P (que representa o percentual acumulado pelos 90% de MENOR salário) com o percentual pedido na questão, que é o seu complementar — a fatia dos 10% de MAIOR salário.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de escrever as áreas A e B em função de uma incógnita, aplicar corretamente a fórmula do Gini, resolver a equação e, por fim, identificar qual grandeza geométrica corresponde de fato ao que o enunciado pergunta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Curva de Lorenz: gráfico que relaciona o percentual acumulado de indivíduos (eixo x, ordenados do menor para o maior salário) com o percentual acumulado da renda que esse grupo detém (eixo y). Quanto mais a curva se afasta da diagonal, maior a desigualdade.
• Linha de equidade perfeita: a diagonal que liga (0,0) a (100,100); nela, qualquer fração da população detém exatamente a mesma fração da massa salarial (situação hipotética de igualdade total).
• Índice de Gini: número entre 0 (igualdade perfeita) e 1 (concentração máxima), calculado por A/(A+B), sendo A a área entre a diagonal e a curva de Lorenz, e B a área entre a curva de Lorenz e o eixo horizontal.
• Áreas de triângulo e trapézio: ferramentas geométricas necessárias para calcular B a partir dos dois segmentos de reta (0,0)→P e P→(100,100) que formam a curva poligonal do gráfico.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "dois segmentos de reta, unidos em um ponto P, cuja abscissa tem valor igual a 90" → a curva de Lorenz é poligonal e sua quebra ocorre exatamente em x = 90, separando os 90% de funcionários de menor salário dos 10% de maior salário.
• Evidência 2: "o Índice de Gini... pode ser calculado pela razão A/(A + B)" → a fórmula é dada pronta; resta escrever A e B em função da ordenada (ainda desconhecida) de P.
• Evidência 3: "alterar o percentual que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior salário" → confirma que a resposta final NÃO é a ordenada de P, e sim seu complementar em relação a 100%.
• Síntese: mantendo fixa a abscissa de P (90) e chamando de y a ordenada desconhecida, é preciso montar A e B em função de y, igualar A/(A+B) a 0,3, resolver a equação e, ao final, calcular 100 − y para responder exatamente o que foi pedido.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem das áreas A e B em função de y

Seja y a ordenada do ponto P, isto é, o percentual da massa salarial acumulado pelos 90% de funcionários de menor salário (esse é o valor que a empresa vai ajustar).

O triângulo maior — formado pela linha de equidade perfeita com os pontos (0,0), (100,0) e (100,100) — tem área fixa:

A + B = (100 × 100) ÷ 2 = 5000 (em unidades percentuais ao quadrado)

A área B, sob a curva de Lorenz, é a soma de duas figuras:

• Triângulo de vértices (0,0), (90,0) e (90,y): base = 90, altura = y → área = (90 × y) ÷ 2 = 45y

• Trapézio de vértices (90,0), (100,0), (100,100) e (90,y): bases y e 100, altura = 10 → área = [(y + 100) × 10] ÷ 2 = 5y + 500

Logo: B = 45y + 5y + 500 = 50y + 500

Subpasso 4.2 — Isolando A e aplicando a fórmula do Gini

A = (A + B) − B = 5000 − (50y + 500) = 4500 − 50y

Substituindo na fórmula do Gini e igualando à meta de 0,3:

(4500 − 50y) ÷ 5000 = 0,3

4500 − 50y = 1500

50y = 3000

y = 60

Subpasso 4.3 — Verificação e cálculo do que foi pedido

y = 60 significa que, na situação-meta, os 90% de funcionários de menor salário devem deter 60% da massa salarial total. Como o enunciado pede a parcela dos 10% de maior salário, calcula-se o complementar:

100% − 60% = 40%

Conferindo: com y = 60, B = 50(60) + 500 = 3500; A = 5000 − 3500 = 1500; Gini = 1500 ÷ 5000 = 0,3 ✓. A meta é atingida, e 40% corresponde exatamente à alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 40%

✅ Correta: é o complementar de y = 60 (100% − 60%), valor que zera a equação A/(A+B) = 0,3 mantendo a abscissa de P em 90. Representa corretamente a parcela da massa salarial que ficaria com os 10% mais bem pagos.

B) 20%

❌ Incorreta: resulta de inverter as áreas na fórmula do Gini (calcular B/(A+B) em vez de A/(A+B)), o que leva a uma ordenada de P deslocada (y = 20) e a uma leitura equivocada de qual região mede a concentração de renda.

C) 60%

❌ Incorreta: é o valor correto de y, ou seja, a parcela acumulada pelos 90% de funcionários de MENOR salário — não a parcela pedida. Quem escolhe essa alternativa resolveu a equação corretamente, mas esqueceu de calcular o complementar (100 − y) para responder o que a empresa deveria ajustar de fato: a fatia dos 10% de maior salário.

D) 30%

❌ Incorreta: confunde o próprio Índice de Gini (0,3) com o percentual pedido, apenas convertendo o índice diretamente em porcentagem (0,3 → 30%) sem realizar nenhum cálculo geométrico das áreas A e B.

E) 70%

❌ Incorreta: surge de operar sobre o valor do Gini de forma sem fundamento geométrico, como subtrair 100% − 30% = 70%, tratando o índice (0,3) como se já fosse a ordenada de P ou uma fração diretamente comparável ao eixo do gráfico.

🏆 Gabarito: A — a única forma de tornar A/(A+B) = 0,3, mantendo a quebra da curva em x = 90, é fazer a parcela acumulada pelos 90% de menor salário valer 60%, o que implica que os 10% de maior salário devem passar a deter exatamente 40% da massa salarial.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A satisfaz simultaneamente a equação geométrica do Gini (A/(A+B) = 0,3) e a pergunta feita (parcela dos 10% de maior salário, não a ordenada de P).
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar geometria plana (áreas de triângulos e trapézios) com indicadores socioeconômicos (Gini, IDH, curva de Lorenz), exigindo que o estudante monte expressões algébricas a partir de um gráfico antes de resolver a equação.
• Generalização: sempre que um índice for definido como razão entre áreas (A/(A+B) ou semelhante), decomponha a figura em polígonos conhecidos (triângulos, trapézios, retângulos), escreva cada área em função da incógnita do gráfico e só então aplique a fórmula — nunca tente "adivinhar" a área complexa diretamente.
• Dica de eliminação rápida: o valor do índice dado no enunciado (aqui, 0,3) quase nunca é a resposta direta em porcentagem — se uma alternativa repetir esse número (como o "30%" da alternativa D), desconfie: é armadilha para quem pula a modelagem geométrica.
• Conexões: questões envolvendo áreas de figuras planas obtidas a partir de gráficos cartesianos (como cálculo de trabalho em Física via área sob a curva) e problemas de estatística que pedem interpretação de gráficos acumulados (histogramas de frequência acumulada, curvas ABC).