Questão 152 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (regra do produto e regra da soma aplicadas a um mapa de caminhos)
• ⚡ Nível: Difícil — a dificuldade não está na conta em si, mas em ler corretamente um grafo com bifurcações de tamanhos diferentes (algumas com 2 opções, uma com 3) antes de multiplicar qualquer coisa
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade em sequência de escolhas (diagrama de árvore/grafo) — competência de modelar matematicamente uma situação descrita por um esquema visual
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Andando ao acaso a partir da entrada, qual a probabilidade de o adolescente chegar direto à área IV, sem visitar nenhuma outra área (I, II, III ou V) e sem precisar voltar (backtrack)?"
• Palavras-chave decisivas: sem passar por outras áreas, sem retornar, iguais probabilidades de escolha
• Armadilha típica: enxergar só um caminho até a área IV e esquecer que o mapa oferece dois trajetos distintos que chegam limpos até IV — sendo necessário somar as duas probabilidades, e não escolher só uma; outra armadilha é contar errado o número de opções em cada bifurcação (tratar como 1/2 uma bifurcação que na verdade tem 3 ramos).
• O que a resposta precisa demonstrar: mapear todas as bifurcações do esquema, identificar quantas opções cada uma tem, localizar todos os trajetos entrada→IV que não tocam nenhuma outra área, calcular a probabilidade de cada um (regra do produto) e somá-las (regra da soma, pois são trajetos mutuamente exclusivos).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Regra do produto (conectivo "E"): dentro de um mesmo trajeto, a probabilidade de acertar escolha após escolha é o produto das probabilidades de cada bifurcação percorrida.
• Regra da soma (conectivo "OU"): quando existem vários trajetos diferentes e mutuamente exclusivos que levam ao mesmo resultado (chegar à área IV), soma-se a probabilidade de cada trajeto.
• Espaço equiprovável em cada nó: se um cruzamento do mapa oferece k caminhos possíveis à frente, cada um tem probabilidade 1/k — o número de ramos varia de cruzamento para cruzamento (pode ser 2, pode ser 3).
• Leitura de grafos: é preciso distinguir cruzamentos (pontos vazios do mapa, sem brinquedo) de áreas (os círculos I, II, III, IV, V) — só a chegada a uma área conta como "passar por" ela.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "localização da entrada, das cinco áreas... e dos possíveis caminhos" → o esquema é um grafo com 1 entrada, cruzamentos internos e 5 áreas terminais (I a V).
• Evidência 2: "relativamente a cada ramificação, as opções... apresentem iguais probabilidades de escolha" → em cada cruzamento a probabilidade se reparte igualmente entre todas as opções ali existentes — não é sempre meio a meio, depende de quantos ramos saem daquele ponto.
• Evidência 3: "ao tomar um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna" → áreas diferentes de IV podem ser becos sem saída (ele visita e volta) ou pontos com continuação (ele visita e segue adiante) — mas em ambos os casos ele passou por aquela área, o que desqualifica esse trajeto para a pergunta feita.
• Síntese: o problema pede para isolar, dentro do mapa, exatamente os trajetos entrada→IV que não tocam nenhum círculo I/II/III/V, calcular a probabilidade de cada um e somar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Mapeando a estrutura do parque

Da Entrada, o caminho chega a um primeiro cruzamento com 2 opções: um ramo sobe (rumo às áreas I, III e V) e outro desce (rumo às áreas II, III e IV). A área III funciona como uma "ponte", alcançável pelos dois ramos — é o vértice inferior de um losango que se fecha do outro lado na área IV.

• Ramo de cima: segundo cruzamento com 2 opções — descer até a área III (beco) ou continuar subindo. Continuando, chega-se ao ponto onde, no desenho, as linhas parecem se cruzar em "X". Esse "X" não são duas retas independentes se cruzando: é um único nó com 3 opções — ir à área I, ir à área V, ou descer direto à área IV.
• Ramo de baixo: cruzamento com 2 opções — desviar para a área II (beco) ou continuar. Continuando, chega-se a um cruzamento final com 2 opções: subir até a área III (mesmo círculo, alcançado pelo outro lado) ou seguir direto até a área IV.

Subpasso 4.2 — Isolando os trajetos "limpos" até a área IV

Em qualquer cruzamento onde uma das opções seja "ir para I, II, III ou V", escolher essa opção desqualifica o trajeto (ele passou por outra área). Sobra, portanto, exatamente um trajeto limpo em cada ramo:

Trajeto pelo ramo de cima: 1º cruzamento (escolhe subir, não descer) → 2º cruzamento (escolhe continuar, não vai a III) → 3º cruzamento/"X" (escolhe IV, não escolhe I nem V).

$$P_{\text{cima}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$$

Trajeto pelo ramo de baixo: 1º cruzamento (escolhe descer, não subir) → 2º cruzamento (escolhe continuar, não vai a II) → cruzamento final (escolhe IV, não escolhe III).

$$P_{\text{baixo}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$$

Como os dois trajetos são mutuamente exclusivos (o adolescente só pode ter escolhido "subir" ou "descer" logo na primeira bifurcação, nunca os dois), a probabilidade total de chegar limpo à área IV é a soma:

$$P(\text{IV}) = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8}$$

Subpasso 4.3 — Verificação (soma das frações e confronto com as alternativas)

Reduzindo ao mesmo denominador (mmc(12, 8) = 24):

$$\dfrac{1}{12} = \dfrac{2}{24} \qquad \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{24}$$

$$P(\text{IV}) = \dfrac{2}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{5}{24}$$

Esse valor bate exatamente com a alternativa C, confirmando que a leitura das bifurcações (2, 2, 3 de um lado; 2, 2, 2 do outro) estava correta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/96

❌ Incorreta: é o que se obtém multiplicando as probabilidades dos dois trajetos entre si (1/12 × 1/8 = 1/96) em vez de somá-las. Esse erro troca a lógica "OU" (trajetos alternativos que levam ao mesmo resultado, que se somam) pela lógica "E" (eventos simultâneos dentro do mesmo trajeto, que se multiplicam) — mas os dois trajetos não acontecem juntos, são excludentes.

B) 1/64

❌ Incorreta: corresponde a tratar o percurso todo como se fossem seis bifurcações binárias seguidas, isto é, (1/2)⁶ = 1/64. Esse valor ignora que existe um cruzamento com 3 opções (não 2) e, principalmente, ignora que há dois trajetos válidos diferentes até IV, não um único caminho de seis passos.

C) 5/24

✅ Correta: é exatamente a soma 1/12 + 1/8 obtida ao somar o trajeto que passa pelo cruzamento de 3 opções (ramo de cima) com o trajeto que passa apenas por cruzamentos de 2 opções (ramo de baixo).

D) 1/4

❌ Incorreta: aparece se alguém tratar o cruzamento em "X" (o que tem 3 opções: I, V ou IV) como se fosse mais um cruzamento binário comum, calculando 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8 também para o ramo de cima e somando 1/8 + 1/8 = 1/4. O erro conceitual é não perceber que naquele nó específico três caminhos se encontram, não dois.

E) 5/12

❌ Incorreta: é o dobro do valor correto (2 × 5/24 = 5/12). Esse resultado surge de um erro sutil e comum: calcular cada trajeto sem multiplicar pela primeira bifurcação (a que decide entre subir ou descer logo na entrada), obtendo 1/2 × 1/3 = 1/6 e 1/2 × 1/2 = 1/4, e somando 1/6 + 1/4 = 5/12. Isso equivale a esquecer que ambos os trajetos ainda dependem daquela primeira escolha de 1/2, inflando o resultado final em exatamente o dobro.

🏆 Gabarito: C — a probabilidade de chegar à área IV sem passar por outra área e sem retornar é a soma dos dois únicos trajetos limpos do mapa, 1/12 (pelo ramo com o cruzamento de 3 opções) mais 1/8 (pelo ramo só com cruzamentos de 2 opções), resultando em 5/24.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: nenhuma outra alternativa reproduz corretamente a soma de dois trajetos mutuamente exclusivos, um deles passando por um nó de 3 ramificações — só 5/24 nasce dessa combinação exata.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de esconder, dentro de um mapa ou diagrama aparentemente "geométrico", uma árvore de probabilidades com ramificações de tamanhos desiguais — a dificuldade real está em traduzir o desenho para números, não em fazer a conta.
• Generalização: sempre que o enunciado pedir "a probabilidade de chegar a X sem passar por outros pontos", separe o problema em duas etapas: (1) liste todos os trajetos possíveis que satisfazem a condição (aqui, dois); (2) calcule cada um pela regra do produto e some os resultados (regra da soma), pois trajetos diferentes que levam ao mesmo destino são eventos mutuamente exclusivos.
• Dica de eliminação rápida: quando duas alternativas guardam uma relação simples entre si (aqui, 5/12 é o dobro de 5/24, e 1/96 é o produto de 1/12 por 1/8), desconfie — geralmente uma delas é a resposta certa e a outra é a "pegadinha" de quem trocou soma por produto ou esqueceu um fator comum. Além disso, sempre que um cruzamento do mapa tiver mais de duas linhas saindo dele, marque mentalmente "não é 1/2" antes de multiplicar qualquer coisa.
• Conexões: o mesmo raciocínio de "multiplicar dentro do caminho, somar entre caminhos" aparece em heredogramas de Genética (probabilidade de um fenótipo por diferentes cruzamentos possíveis) e em problemas de contagem de caminhos em grades ou grafos.