Questão 172 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (círculos inscritos e circunscritos em polígonos)
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar duas condições geométricas simultâneas (o círculo não pode conter nem ser contido pelas outras peças) e cruzar os intervalos numéricos resultantes.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relações métricas entre circunferência, quadrado, retângulo e triângulo equilátero — raio/diâmetro de círculos inscritos e circunscritos aplicados a uma situação de fabricação.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre o diâmetro do círculo que não caiba dentro do quadrado, do retângulo ou do triângulo já perfurados, e que também não permita que nenhuma dessas três peças caiba dentro dele."
• Palavras-chave decisivas: "não quer que... caibam", "nem que a peça de base circular caiba", diâmetro
• Armadilha típica: analisar só metade do problema — por exemplo, garantir que Q, R e T não entrem no círculo, mas esquecer de verificar se o próprio círculo não entra nelas (ou vice-versa). A questão exige as DUAS condições ao mesmo tempo.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio de diagonal de quadrado e retângulo (círculo circunscrito) e de raio inscrito/circunscrito do triângulo equilátero, combinando os quatro resultados numa única desigualdade dupla.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Círculo inscrito em um polígono: o maior círculo que cabe totalmente dentro da figura, tangenciando seus lados. No quadrado de lado L, esse diâmetro é L; no retângulo, é o menor lado.
• Círculo circunscrito a um polígono: o menor círculo capaz de conter a figura inteira, passando pelos vértices. No quadrado e no retângulo, esse diâmetro é a diagonal (Pitágoras).
• Triângulo equilátero de lado a: raio inscrito (apótema) r = a/(2√3); raio circunscrito R = a/√3. Diâmetros: a/√3 (inscrito) e 2a/√3 (circunscrito).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "não quer que as outras peças caibam na perfuração circular" → nenhuma das peças Q, R, T pode ser envolvida por um círculo de diâmetro D. Isso significa que D precisa ser menor que o menor diâmetro circunscrito entre as três figuras.
• Evidência 2: "nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações" → o círculo de diâmetro D não pode entrar em nenhum dos três buracos já feitos. Isso significa que D precisa ser maior que o maior diâmetro inscrito entre as três figuras.
• Síntese: o diâmetro procurado fica estritamente entre o maior "diâmetro inscrito" (limite inferior) e o menor "diâmetro circunscrito" (limite superior) das figuras Q, R e T. Basta calcular esses seis valores e cruzá-los.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Quadrado (Q), lado 4 cm

Círculo inscrito: diâmetro = lado = 4 cm (se D ≤ 4, o círculo caberia no buraco quadrado). Círculo circunscrito: diagonal = 4√2 ≈ 4 × 1,4 = 5,6 cm (se D ≥ 5,6, o quadrado caberia no buraco circular).

→ Condição de Q: 4 cm < D < 5,6 cm

Subpasso 4.2 — Retângulo (R), base 3 cm × altura 4 cm

Círculo inscrito: diâmetro = menor lado = 3 cm (restrição mais fraca que a do quadrado). Círculo circunscrito: diagonal = √(3² + 4²) = √25 = 5 cm (trio pitagórico 3-4-5, sem precisar de aproximação).

→ Condição de R: 3 cm < D < 5 cm

Subpasso 4.3 — Triângulo equilátero (T), lado 6,8 cm

Círculo inscrito: diâmetro = a/√3 = 6,8 ÷ 1,7 = 4 cm. Círculo circunscrito: diâmetro = 2a/√3 = 13,6 ÷ 1,7 = 8 cm.

→ Condição de T: 4 cm < D < 8 cm

Subpasso 4.4 — Interseção das três condições e verificação

O diâmetro precisa satisfazer as três faixas ao mesmo tempo:

• Limite inferior = maior valor entre {4; 3; 4} = 4 cm
• Limite superior = menor valor entre {5,6; 5; 8} = 5 cm

Logo: 4 cm < D < 5 cm

Testando as cinco serras copo:

• I) 3,8 cm → menor que 4 → o círculo caberia no quadrado e no triângulo. ❌
• II) 4,7 cm → 4 < 4,7 < 5 → satisfaz as duas condições. ✅
• III) 5,6 cm → maior ou igual a 5 → o retângulo (diagonal 5 cm) caberia dentro do círculo. ❌
• IV) 7,2 cm → o quadrado e o retângulo caberiam facilmente dentro do círculo. ❌
• V) 9,4 cm → até o triângulo (diâmetro circunscrito 8 cm) caberia dentro do círculo. ❌

Apenas o exemplar II atende à dupla exigência do marceneiro.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I (3,8 cm)

❌ Incorreta: 3,8 cm é menor que 4 cm, o limite inferior calculado. Com esse diâmetro, a própria peça circular caberia dentro da perfuração quadrada (que aceita círculos de até 4 cm de diâmetro) e também dentro da perfuração triangular (idem, até 4 cm) — exatamente o que o marceneiro quer evitar.

B) II (4,7 cm)

✅ Correta: 4,7 cm está estritamente entre 4 cm e 5 cm. É grande o bastante para que a peça circular não entre em nenhuma das três perfurações já prontas, e pequeno o bastante para que nenhuma das três peças (Q, R, T) entre na nova perfuração circular.

C) III (5,6 cm)

❌ Incorreta: 5,6 cm ultrapassa o limite superior de 5 cm. A peça retangular, cuja diagonal mede exatamente 5 cm, caberia dentro dessa perfuração (5 ≤ 5,6). Além disso, 5,6 cm é exatamente a diagonal do quadrado (4 × 1,4), então a peça quadrada também tangenciaria/caberia no limite — dobro motivo de falha.

D) IV (7,2 cm)

❌ Incorreta: 7,2 cm é maior que os diâmetros circunscritos do quadrado (5,6 cm) e do retângulo (5 cm). Essas duas peças caberiam com folga dentro da nova perfuração circular, contrariando a exigência do marceneiro.

E) V (9,4 cm)

❌ Incorreta: 9,4 cm supera até o maior diâmetro circunscrito das três figuras, o do triângulo (8 cm). Nesse caso, Q, R e T caberiam todas dentro da perfuração circular — o oposto completo do que se pretende.

🏆 Gabarito: B — 4,7 cm é o único diâmetro que fica estritamente entre 4 cm (maior diâmetro inscrito, imposto pelo quadrado e pelo triângulo) e 5 cm (menor diâmetro circunscrito, imposto pelo retângulo), atendendo às duas exigências do marceneiro ao mesmo tempo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só o exemplar II (4,7 cm) pertence ao intervalo aberto 4 cm < D < 5 cm, que é a interseção das restrições impostas pelo quadrado, pelo retângulo e pelo triângulo.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de contextualizar geometria plana — diagonais, apótemas, círculos inscritos/circunscritos — em situações de fabricação ou encaixe, exigindo que o estudante monte duas desigualdades (uma para "não cabe dentro" e outra para "não contém") e as intersecte.
• Generalização: em qualquer problema de "o que cabe dentro de quê", compare sempre o diâmetro do círculo inscrito (o maior círculo que cabe dentro da figura) com o diâmetro do círculo circunscrito (o menor círculo que contém a figura) — a resposta válida sempre mora no intervalo aberto entre esses dois extremos.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro os valores mais diretos — o lado do quadrado (4 cm) e a diagonal do retângulo pelo trio pitagórico 3-4-5 (exatamente 5 cm, sem precisar de aproximação). Qualquer alternativa ≤ 4 cm ou ≥ 5 cm já pode ser descartada de cara, restando apenas uma opção em poucos segundos.
• Conexões: relações métricas no triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras), apótema e raio da circunferência circunscrita de polígonos regulares, uso de aproximações de radicais (√2, √3) em problemas de geometria aplicada.