Questão 160 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Logaritmos (propriedades operatórias) aplicados a decaimento exponencial
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar o modelo exponencial, fatorar 99 de forma esperta para usar os logs dados e, no fim, converter a unidade de tempo
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolver equação exponencial por logaritmos em situação de decaimento percentual — modelar e interpretar fenômenos com funções exponenciais
• 🏆 Gabarito: D — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Partindo de 3 000 ℃ e perdendo 1% da temperatura a cada 30 min, quantas horas se passam até a liga chegar a 30 ℃?"
• Palavras-chave decisivas: diminui 1% a cada 30 min, em hora, log₁₀3 = 0,477 e log₁₀11 = 1,041
• Armadilha típica: resolver toda a exponencial corretamente, encontrar n = 400 e marcar a alternativa E (400) — esquecendo que n conta intervalos de 30 minutos, não horas. A questão pede horas.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio completo do ciclo — modelar, aplicar log com as propriedades certas e converter a unidade no final.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Decaimento percentual: perder 1% significa conservar 99%, ou seja, multiplicar por 0,99 a cada período. Após n períodos: T(n) = T₀ × (0,99)ⁿ. O erro clássico é subtrair 1% linearmente — mas a perda é sempre sobre o valor atual, o que gera uma exponencial, não uma reta.
• Logaritmo para "descer" o expoente: a propriedade log(aⁿ) = n × log(a) é o que permite tirar o n de cima e isolá-lo. É por isso que a questão fornece logaritmos.
• Por que o enunciado dá log 3 e log 11: porque 99 = 9 × 11 = 3² × 11. Essa fatoração não é decorativa — é a única forma de calcular log(0,99) com os dados oferecidos. Identificá-la é a virada da questão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "sai do forno a uma temperatura de 3 000 ℃" → temperatura inicial T₀ = 3 000.
• Evidência 2: "diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min" → a cada meia hora, multiplica-se por 0,99. O período do modelo é de 30 minutos, não de 1 hora — guarde isso.
• Evidência 3: "Use 0,477 como aproximação para log₁₀3 e 1,041 para log₁₀11" → a banca está dizendo, nas entrelinhas: "você vai precisar fatorar 99 em 3² × 11".
• Evidência 4: "O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 ℃" → alvo T = 30, e a resposta deve sair em horas.
• Síntese: montar 3 000 × (0,99)ⁿ = 30, isolar n com logaritmos usando a fatoração 99 = 3² × 11, e converter os n períodos de 30 min em horas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a equação exponencial

Seja n o número de intervalos de 30 minutos decorridos. Como a cada intervalo a liga conserva 99% da temperatura:

T(n) = 3 000 × (0,99)ⁿ

Queremos T(n) = 30:

3 000 × (0,99)ⁿ = 30

Dividindo os dois lados por 3 000:

(0,99)ⁿ = 30 ÷ 3 000 = 0,01 = 10⁻²

Subpasso 4.2 — Aplicar logaritmo dos dois lados

log₁₀(0,99)ⁿ = log₁₀(10⁻²)

Usando log(aⁿ) = n × log(a) do lado esquerdo, e lembrando que log₁₀(10⁻²) = −2:

n × log₁₀(0,99) = −2

Subpasso 4.3 — Calcular log₁₀(0,99) com a fatoração esperta

Este é o coração da questão. Escrevemos 0,99 como fração e fatoramos:

0,99 = 99/100 = (3² × 11) / 10²

Aplicando as propriedades do logaritmo (log do quociente vira subtração; log do produto vira soma; expoente desce):

log₁₀(0,99) = log₁₀(3² × 11) − log₁₀(10²)

log₁₀(0,99) = 2 × log₁₀3 + log₁₀11 − 2

Substituindo os valores dados:

log₁₀(0,99) = 2 × (0,477) + 1,041 − 2

log₁₀(0,99) = 0,954 + 1,041 − 2

log₁₀(0,99) = 1,995 − 2

log₁₀(0,99) = −0,005

(Faz todo sentido que seja negativo e muito próximo de zero: 0,99 é um número pouco menor que 1.)

Subpasso 4.4 — Isolar n

n × (−0,005) = −2

n = (−2) ÷ (−0,005) = 400

Ou seja: são necessários 400 intervalos para a liga chegar a 30 ℃.

Subpasso 4.5 — Verificação e conversão de unidade (o passo decisivo)

Atenção: 400 é o número de intervalos de 30 minutos, não o número de horas. Como cada intervalo vale meia hora:

tempo = 400 × 30 min = 12 000 min

Convertendo para horas: 12 000 ÷ 60 = 200 horas

(Ou, mais rápido: cada intervalo é 0,5 h, logo 400 × 0,5 = 200 h.)

O tempo decorrido é de 200 horas, exatamente a alternativa D. Note que 400 — a resposta antes da conversão — está plantada na alternativa E justamente para pegar quem parar um passo antes do fim.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 22.

❌ Incorreta: valor incompatível com o modelo. Em 22 horas passam-se apenas 44 intervalos de 30 min, e a liga estaria a 3 000 × (0,99)⁴⁴ ≈ 3 000 × 0,64 ≈ 1 920 ℃ — ainda quentíssima, longe dos 30 ℃. O número parece surgir de tentar somar ou dividir os logaritmos fornecidos sem montar a equação exponencial.

B) 50.

❌ Incorreta: corresponderia a 100 intervalos, ou seja, um quarto do necessário. Provavelmente resulta de um erro de sinal ou de uma divisão equivocada ao isolar n (por exemplo, usar log(0,99) ≈ −0,02 em vez de −0,005). Com 100 intervalos, a liga ainda estaria por volta de 3 000 × (0,99)¹⁰⁰ ≈ 1 100 ℃.

C) 100

❌ Incorreta: é o resultado de quem acha n = 400 e divide por 4 — confundindo a conversão. Como cada intervalo vale meia hora (e não um quarto de hora), o fator correto de conversão é 0,5, e não 0,25. A divisão por 4 dobra o erro em relação à divisão correta por 2.

D) 200

✅ Correta: resolvendo 3 000 × (0,99)ⁿ = 30, chega-se a (0,99)ⁿ = 10⁻². Com log₁₀(0,99) = 2(0,477) + 1,041 − 2 = −0,005, obtém-se n = −2 ÷ (−0,005) = 400 intervalos de 30 minutos. Convertendo: 400 × 0,5 h = 200 horas. É a única alternativa que completa o ciclo, incluindo a conversão de unidade.

E) 400

❌ Incorreta: é a armadilha central da questão — e a mais atraente, porque o cálculo está certo até aqui. O 400 é o número de intervalos de 30 minutos, não de horas. Quem para nesse ponto ignorou a exigência explícita do enunciado ("O tempo decorrido, em hora") e entregou a resposta na unidade errada, dobrando o valor real.

🏆 Gabarito: D — a equação 3 000 × (0,99)ⁿ = 30 leva a n = 400 intervalos de 30 min; convertendo, 400 × 0,5 = 200 horas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: o único caminho consistente é (0,99)ⁿ = 10⁻² → n = 2 ÷ 0,005 = 400 períodos → 200 h. As alternativas A, B e C nascem de erros de cálculo ou de conversão, e a E interrompe a questão um passo antes do fim.
• Padrão de cobrança: quando o ENEM fornece logaritmos específicos (aqui, log 3 e log 11), ele está entregando o mapa da fatoração. Pergunte-se imediatamente: "que número da questão se decompõe usando exatamente esses fatores?" Aqui, 99 = 3² × 11 — e a questão se abre.
• Generalização: todo decaimento de p% por período vira T(n) = T₀ × (1 − p/100)ⁿ; todo crescimento de p% vira T₀ × (1 + p/100)ⁿ. Para isolar n, aplique log dos dois lados e use log(aⁿ) = n·log(a). É o mesmo esquema de juros compostos, meia-vida radioativa e crescimento populacional.
• Dica de eliminação rápida: antes de escolher, releia a unidade pedida e circule-a. Nesta questão, o par 400/200 na lista de alternativas é um aviso: a banca montou a armadilha da conversão. Sempre que a resposta "bonita" do cálculo aparecer numa alternativa e o dobro (ou a metade) dela também, desconfie — a unidade é o pulo do gato.
• Conexões: o mesmo modelo resolve questões de juros compostos, depreciação de veículos, meia-vida de isótopos radioativos (Química/Física) e crescimento de populações de bactérias (Biologia).