Questão 176 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções afins por partes, leitura gráfica e taxa de variação (vazão)
• ⚡ Nível: Médio — exige ler dois gráficos simultaneamente e combinar suas informações, não apenas interpretar um deles isoladamente
• 🎯 Tema/Habilidade: Leitura e interpretação de gráficos de funções definidas por partes; cálculo de taxa de variação líquida (vazão de entrada menos vazão de saída) em situações-problema
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Em que intervalo de tempo a diferença entre a vazão que entra (torneira) e a vazão que sai (ralo) permanece constante e positiva?"
• Palavras-chave decisivas: vazão constante, enchimento, intervalo de tempo
• Armadilha típica: olhar só o gráfico da torneira e escolher o trecho em que ela é constante (0 a 10), esquecendo que o ralo também está retirando água — e nem sempre numa taxa constante — durante esse mesmo período.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe calcular a vazão líquida (Q_torneira − Q_ralo) e identificar em que trecho ela é, ao mesmo tempo, constante e positiva (ou seja, o reservatório está de fato enchendo a um ritmo fixo).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Vazão (Q): taxa de variação do volume de água por unidade de tempo, medida em L/min; representa quanto volume entra (torneira) ou sai (ralo) a cada minuto.
• Vazão líquida (resultante): para saber a real variação do volume no reservatório, calcula-se Q_líquida(t) = Q_torneira(t) − Q_ralo(t); se positiva, o reservatório enche; se negativa, esvazia.
• Função afim por partes (poligonal): cada gráfico é formado por segmentos de reta — trechos horizontais indicam vazão constante, e trechos inclinados indicam vazão variando linearmente.
• Diferença entre duas constantes: se, num mesmo intervalo de tempo, as duas vazões (entrada e saída) são simultaneamente constantes, a diferença entre elas também será constante nesse intervalo — esse é o "gatilho" geométrico para resolver a questão sem contas complicadas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "vazões Q... do volume de água que entra... e do volume que sai" → são dois gráficos independentes (Torneira e Ralo) que precisam ser sobrepostos/comparados, não lidos isoladamente.
• Evidência 2: no gráfico da Torneira, há um segmento horizontal em Q = 20 L/min de t = 0 a t = 10 → vazão de entrada constante nesse trecho.
• Evidência 3: no gráfico do Ralo, há um segmento horizontal em Q = 5 L/min de t = 5 a t = 15 → vazão de saída constante nesse trecho.
• Síntese: a vazão de enchimento só é constante nos instantes em que os dois gráficos estão em patamares horizontais ao mesmo tempo. Isso significa encontrar a intersecção entre o intervalo em que a torneira é constante ([0,10]) e o intervalo em que o ralo é constante ([5,15]) — essa intersecção é exatamente [5, 10].

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizar os trechos de cada gráfico

Torneira (entrada):

• [0, 10]: Q = 20 L/min (constante)
• [10, 15]: decresce linearmente de 20 para 5 L/min
• [15, 20]: Q = 5 L/min (constante)
• [20, 25]: decresce linearmente de 5 para 0 L/min

Ralo (saída):

• [0, 5]: cresce linearmente de 0 para 5 L/min
• [5, 15]: Q = 5 L/min (constante)
• [15, 20]: cresce linearmente de 5 para 20 L/min
• [20, 25]: Q = 20 L/min (constante)

Subpasso 4.2 — Calcular a vazão líquida em cada subintervalo comum

Juntando os pontos de quebra dos dois gráficos {0, 5, 10, 15, 20, 25}, analisa-se Q_líquida = Q_torneira − Q_ralo em cada faixa:

• [0, 5]: Torneira = 20 (constante); Ralo(t) = t (cresce de 0 a 5) → Q_líquida(t) = 20 − t, varia de 20 a 15 L/min → NÃO constante.
• [5, 10]: Torneira = 20 (constante); Ralo = 5 (constante) → Q_líquida = 20 − 5 = 15 L/min, constante em todo o intervalo. ✅
• [10, 15]: Torneira decresce de 20 para 5 (coeficiente angular −3); Ralo = 5 (constante) → Q_líquida(t) varia de 15 a 0 L/min → NÃO constante.
• [15, 20]: Torneira = 5 (constante); Ralo cresce de 5 para 20 (coeficiente angular +3) → Q_líquida(t) varia de 0 a −15 L/min → além de não constante, fica negativa (reservatório esvaziando).
• [20, 25]: Torneira decresce de 5 para 0; Ralo = 20 (constante) → Q_líquida(t) varia de −15 a −20 L/min → NÃO constante e negativa.

Subpasso 4.3 — Verificação

Somente no intervalo [5, 10] a vazão líquida permanece fixa em 15 L/min e positiva (reservatório de fato enchendo a taxa constante). Esse resultado corresponde exatamente à alternativa que descreve "De 5 a 10", confirmando a coerência da leitura gráfica com a condição pedida pelo enunciado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) De 0 a 10.

❌ Incorreta: a torneira de fato tem vazão constante (20 L/min) em todo esse intervalo, mas o ralo não é constante nos primeiros 5 minutos — ele cresce de 0 a 5 L/min. Logo, a vazão líquida de enchimento varia de 20 a 15 L/min entre t = 0 e t = 5, só se estabilizando a partir de t = 5.

B) De 5 a 10.

✅ Correta: é o único intervalo em que torneira (20 L/min) e ralo (5 L/min) estão, simultaneamente, em trechos horizontais de seus gráficos. A vazão líquida resultante, 15 L/min, permanece constante e positiva — o reservatório enche a um ritmo fixo.

C) De 5 a 15.

❌ Incorreta: essa alternativa capta corretamente que o ralo é constante em todo esse intervalo, mas ignora que a torneira deixa de ser constante em t = 10, passando a decrescer até t = 15. Por isso, no trecho [10,15] a vazão líquida cai de 15 até 0 L/min — não é constante.

D) De 15 a 25.

❌ Incorreta: nesse período o ralo passa a ter vazão maior que a torneira (o gráfico do ralo sobe até 20 L/min enquanto o da torneira cai até 0 L/min), tornando a vazão líquida negativa — o reservatório está esvaziando, não enchendo, e a taxa ainda varia ao longo do intervalo.

E) De 0 a 25.

❌ Incorreta: generaliza a resposta para todo o domínio do gráfico, ignorando que a vazão líquida muda de valor — e até de sinal — várias vezes: começa variável, fica constante e positiva só em [5,10], depois volta a variar e chega a ficar negativa. Não há vazão constante durante todo o processo.

🏆 Gabarito: B — o intervalo [5, 10] é o único em que as vazões de entrada e saída são simultaneamente constantes, produzindo uma vazão líquida de enchimento fixa em 15 L/min.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa B é a única compatível com a exigência de vazão de enchimento constante, pois é o único trecho em que ambos os gráficos (torneira e ralo) estão em patamares horizontais ao mesmo tempo.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar gráficos poligonais (funções afins por partes) em contextos físicos — vazão, velocidade, consumo — pedindo que o aluno combine duas ou mais curvas para responder sobre uma grandeza resultante (diferença, soma ou taxa de variação).
• Generalização: sempre que a questão envolver "taxa resultante" a partir de dois gráficos (entrada e saída, receita e despesa, etc.), a taxa só será constante nos trechos em que ambas as funções envolvidas forem constantes (ou variarem exatamente na mesma proporção) simultaneamente.
• Dica de eliminação rápida: marque, num rascunho, os intervalos em que cada gráfico é horizontal; a resposta certa está na intersecção desses intervalos — isso elimina alternativas como "0 a 10" ou "5 a 15", que usam apenas um dos dois gráficos isoladamente.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de "velocidade relativa" (posição de dois móveis) e em questões de custo/lucro que somam ou subtraem duas funções afins por partes representadas em gráficos separados.