Questão 167 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Quadrática (Parábola) e Geometria — cálculo de área
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar leitura gráfica (raízes e vértice de uma parábola) com aplicação de uma proporção dada no enunciado
• 🎯 Tema/Habilidade: Área sob um arco parabólico a partir de sua lei de formação; competência de modelar situações reais com funções do 2º grau
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a área da tampa parabólica sabendo que ela vale 2/3 da área do retângulo que tem por lados a base e a altura do arco y = 9 – x²."
• Palavras-chave decisivas: mesmas dimensões, eixo horizontal no nível do chão, 2/3 da área do retângulo
• Armadilha típica: achar apenas a área do retângulo circunscrito (base × altura) e esquecer de multiplicar pelo fator 2/3 fornecido no enunciado — ou usar só a metade da base (o "raio" da parábola) em vez da largura total.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair, a partir da lei y = 9 – x², os dois dados geométricos necessários (base e altura da entrada do túnel) e depois aplicar corretamente a proporção 2/3 indicada pelo próprio enunciado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática e suas raízes: os zeros de y = 9 – x² são os valores de x para os quais y = 0; geometricamente, são os pontos onde a parábola "toca o chão" — no problema, definem a largura (base) do túnel.
• Vértice da parábola: para y = 9 – x² (concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente de x² é negativo), o vértice está em x = 0, e ali a função atinge seu valor máximo — esse valor máximo é a altura do túnel.
• Retângulo circunscrito: é o retângulo "que envolve" o arco, tendo como lados exatamente a base e a altura da figura. Sua área é simplesmente base × altura.
• Quadratura da parábola (regra dada no enunciado): a área sob um arco parabólico como esse equivale a 2/3 da área do retângulo circunscrito — resultado clássico de geometria (associado a Arquimedes), que aqui é fornecido pronto, dispensando cálculo integral.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Usando o eixo horizontal no nível do chão... obteve a seguinte equação: y = 9 – x²" → o chão corresponde a y = 0; logo, as raízes da equação marcam os pontos onde o arco encontra o solo, ou seja, as extremidades da base do túnel.
• Evidência 2: "a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel" → a questão já entrega a fórmula pronta: Área = (2/3) × base × altura. Não é preciso integrar, só identificar corretamente base e altura.
• Evidência 3: "a tampa de concreto têm... mesmas dimensões" (que o túnel) → a área da tampa é numericamente igual à área da seção transversal do túnel, então basta calcular a área sob o arco.
• Síntese: o caminho da resolução é: (1) achar as raízes de y = 9 – x² para obter a base; (2) achar o valor máximo de y (vértice) para obter a altura; (3) multiplicar base × altura para ter a área do retângulo; (4) multiplicar por 2/3 para obter a área real do arco — que é a área da tampa.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar a base do túnel (raízes da parábola)

O chão está no nível y = 0. Para achar onde o arco encontra o chão, iguala-se a função a zero:

9 – x² = 0

x² = 9

x = ±3

Isso significa que a parábola cruza o eixo horizontal em x = –3 e x = 3. A base da entrada do túnel é a distância entre esses dois pontos:

base = 3 – (–3) = 6 m

Subpasso 4.2 — Determinar a altura do túnel (vértice da parábola)

Como o coeficiente de x² é negativo (–1), a parábola tem concavidade voltada para baixo e seu ponto mais alto (vértice) ocorre exatamente no eixo de simetria, em x = 0:

y(0) = 9 – 0² = 9

Logo, a altura máxima do arco, medida a partir do chão, é:

altura = 9 m

Subpasso 4.3 — Área do retângulo circunscrito

O retângulo de referência tem como lados a base (6 m) e a altura (9 m) que acabamos de calcular:

Área do retângulo = base × altura = 6 × 9 = 54 m²

Subpasso 4.4 — Aplicar a proporção 2/3 e obter a área da tampa

O próprio enunciado afirma que a área sob o arco parabólico equivale a 2/3 da área desse retângulo:

Área da tampa = (2/3) × 54 = 36 m²

Subpasso 4.5 — Verificação

É possível confirmar esse valor por integração (o resultado 2/3 do retângulo é justamente a "quadratura da parábola"):

∫₋₃³ (9 – x²) dx = [9x – x³/3]₋₃³ = (27 – 9) – (–27 + 9) = 18 – (–18) = 36 m²

O cálculo por integral confirma exatamente o valor obtido pela regra dos 2/3: 36 m², que corresponde à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 18 m²

❌ Incorreta: resulta de usar apenas metade da base — o "raio" x = 3 em vez da largura total (diâmetro) de 6 m, obtida entre as raízes x = –3 e x = 3. Calculando (2/3) × 3 × 9 = 18, o erro é não perceber que a base do túnel é a distância entre as duas raízes, e não a distância de uma raiz até o eixo de simetria.

B) 20 m²

❌ Incorreta: é compatível com aplicar corretamente a proporção 2/3, mas com uma altura equivocada — por exemplo, avaliar y em um ponto que não é o vértice (ao invés de y(0) = 9, usar um valor menor, como 5): (2/3) × 6 × 5 = 20. O erro conceitual é não identificar que a altura máxima do arco ocorre exatamente no eixo de simetria (x = 0), onde a função atinge seu valor máximo.

C) 36 m²

✅ Correta: é o resultado exato de (2/3) × base × altura = (2/3) × 6 × 9 = 36, confirmado também pelo cálculo direto da integral ∫₋₃³(9 – x²)dx. Essa é a área real sob o arco parabólico e, como a tampa tem as mesmas dimensões do túnel, é também a área da parte frontal da tampa de concreto.

D) 45 m²

❌ Incorreta: equivale a aplicar uma fração errada sobre a área do retângulo — por exemplo, tomar 5/6 em vez de 2/3: (5/6) × 54 = 45. O erro é confundir a proporção fornecida pelo enunciado, atribuindo à área sob a parábola uma fração maior do que ela realmente é.

E) 54 m²

❌ Incorreta: é exatamente a área do retângulo circunscrito (base × altura = 6 × 9 = 54), calculada corretamente até esse ponto, mas sem aplicar o fator 2/3 informado no enunciado. É a armadilha mais comum da questão: parar o raciocínio um passo antes do fim, esquecendo que o arco parabólico ocupa menos área do que o retângulo que o envolve.

🏆 Gabarito: C — a área da tampa é (2/3) do retângulo de base 6 m e altura 9 m, ou seja, (2/3) × 54 = 36 m², valor confirmado tanto pela regra geométrica dada no enunciado quanto pelo cálculo direto da integral.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa C aplica corretamente as três etapas — base correta (6 m, distância entre as raízes), altura correta (9 m, valor no vértice) e o fator 2/3 dado no enunciado — chegando a 36 m².
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de "emprestar" fórmulas de geometria (como a quadratura da parábola) para evitar que o aluno precise saber cálculo integral; a questão testa se o candidato consegue extrair dados de uma função (raízes e vértice) e aplicar uma regra fornecida com precisão, sem pular etapas.
• Generalização: sempre que o enunciado der uma parábola do tipo y = a – bx² e pedir uma área "sob o arco", o caminho é: (1) achar as raízes para a base, (2) achar o vértice para a altura, (3) montar o retângulo, (4) aplicar a fração indicada (geralmente 2/3, resultado clássico da quadratura da parábola).
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a área do retângulo (base × altura); se ela aparecer como alternativa (aqui, 54 m²), elimine-a de cara — é a resposta de quem esqueceu o último passo. Da mesma forma, desconfie de valores que sejam exatamente a metade do resultado esperado, pois costumam vir de usar o raio no lugar do diâmetro da base.
• Conexões: esse tipo de questão se conecta a "área de figuras planas com fronteiras curvas", a "vértice e raízes de função quadrática" e, em nível mais avançado, ao cálculo de áreas por integrais definidas — a mesma lógica aparece em problemas de otimização e em cálculo de áreas sob gráficos em Física (por exemplo, área sob uma curva velocidade × tempo).