Questão 142 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica / Distância em malha urbana (métrica do táxi)
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir uma malha de ruas em coordenadas e resolver um sistema com módulos, mesmo que os números sejam simples
• 🎯 Tema/Habilidade: Distância entre pontos quando o deslocamento é restrito a linhas horizontais e verticais (distância "Manhattan"/táxi) — Competência de área 2 (Geometria e medidas) do ENEM
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre, na malha de ruas, o cruzamento que fica à mesma distância de percurso (só andando na horizontal e na vertical) de três pontos dados."
• Palavras-chave decisivas: mesma distância de percurso, caminhar somente nas direções vertical e horizontal, quarteirões quadrados
• Armadilha típica: aplicar a distância euclidiana (linha reta, teorema de Pitágoras) em vez da distância em "L" — quem faz isso erra o cruzamento, porque na malha urbana não se pode "cortar caminho" pela diagonal.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar um sistema de equações com módulo (valor absoluto) representando distâncias em uma grade e resolver esse sistema para achar as duas coordenadas (rua-número e rua-letra) do ponto de encontro.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Plano cartesiano sobre a malha: cada cruzamento de "rua número" com "rua letra" pode ser tratado como um ponto (x, y), em que x é a posição da rua numerada (1 a 6) e y é a posição da rua com letra (A a F, em ordem).
• Distância "táxi" (Manhattan): como só se anda na horizontal e na vertical, a distância entre dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂) não é √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²], mas sim d = |x₂-x₁| + |y₂-y₁| — a soma dos deslocamentos em cada eixo.
• Quarteirões iguais: como todos os quarteirões são quadrados e de mesma medida, cada "passo" entre uma rua e a rua vizinha vale a mesma unidade de distância, o que permite contar quarteirões em vez de usar uma unidade de medida real.
• Ponto equidistante de três pontos com métrica do táxi: o cruzamento procurado deve satisfazer duas equações simultâneas — distância até o ponto A = distância até o ponto B = distância até o ponto C.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E" → ponto M = (6, E).
• Evidência 2: "o consultório do pai, na rua 2 com a rua E" → ponto P = (2, E). Note que M e P estão na mesma rua letra (E), ou seja, na mesma "linha horizontal" da malha.
• Evidência 3: "a escola das crianças, na rua 4 com a rua A" → ponto S = (4, A).
• Síntese: o imóvel precisa ser um cruzamento (x, y) tal que a soma dos quarteirões percorridos até M, até P e até S seja exatamente igual nos três casos. Como M e P estão na mesma rua E, a simetria entre eles já sugere que a rua numerada do imóvel deve ficar "no meio do caminho" entre a rua 2 e a rua 6.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Numerando as ruas para trabalhar como coordenadas

Para transformar a malha em números, atribua posições sequenciais às ruas com letra, na ordem em que aparecem na figura:

A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, E = 5, F = 6.

As ruas numeradas já têm sua própria escala: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Assim, os três locais viram pontos:

• Mãe: M = (6, 5) — rua 6, rua E
• Pai: P = (2, 5) — rua 2, rua E
• Escola: S = (4, 1) — rua 4, rua A

O imóvel é um ponto (x, y) tal que a distância "em quarteirões" até M, P e S seja igual.

Subpasso 4.2 — Igualando a distância até a mãe e até o pai

Distância até M: dₘ = |x − 6| + |y − 5|

Distância até P: d_P = |x − 2| + |y − 5|

Como o termo |y − 5| aparece igual nos dois lados, a condição dₘ = d_P se reduz a:

|x − 6| = |x − 2|

Essa igualdade só é satisfeita quando x está exatamente no ponto médio entre 2 e 6:

x = (2 + 6) ÷ 2 = 4

Ou seja, o imóvel precisa estar necessariamente na rua 4 — o que já elimina de cara as alternativas A (rua 3) e E (rua 5).

Subpasso 4.3 — Igualando a distância até a mãe e até a escola (agora com x = 4 fixo)

Com x = 4, recalcule as distâncias:

• Até M(6, 5): dₘ = |4 − 6| + |y − 5| = 2 + |y − 5|
• Até S(4, 1): d_S = |4 − 4| + |y − 1| = |y − 1|

Igualando dₘ = d_S:

2 + |y − 5| = |y − 1|

Como a escola está na rua A (y = 1) e a mãe está na rua E (y = 5), o valor de y do imóvel deve estar entre 1 e 5. Nesse intervalo:

• |y − 5| = 5 − y
• |y − 1| = y − 1

Substituindo:

2 + (5 − y) = y − 1

7 − y = y − 1

7 + 1 = y + y

8 = 2y

y = 4

Como A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, o valor y = 4 corresponde exatamente à rua D.

Subpasso 4.4 — Verificação final (contagem de quarteirões)

Ponto do imóvel: (4, D) = (4, 4). Distância até a mãe (6,5): |4−6|+|4−5| = 2+1 = 3. Até o pai (2,5): |4−2|+|4−5| = 2+1 = 3. Até a escola (4,1): |4−4|+|4−1| = 0+3 = 3.

As três distâncias são idênticas (3 quarteirões cada), confirmando que o cruzamento correto é rua 4 com rua D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 3 e C

❌ Incorreta: fixa a rua numerada em 3, mas o Subpasso 4.2 mostrou que a única rua numerada equidistante de "rua 2" e "rua 6" é a rua 4 (ponto médio), não a rua 3. Quem escolhe essa alternativa provavelmente errou a média aritmética entre 2 e 6 ou tentou "adivinhar" um ponto próximo sem montar a equação.

B) 4 e C

❌ Incorreta: acerta a rua numerada (4), mas erra a rua com letra. Ao testar y = C (posição 3): distância até a mãe/pai seria 2+|3−5| = 2+2 = 4 quarteirões, enquanto até a escola seria |3−1| = 2 quarteirões — as distâncias não batem, então C não é a rua correta.

C) 4 e D

✅ Correta: é exatamente o resultado obtido nos Subpassos 4.2 e 4.3 — rua 4 (equidistante de rua 2 e rua 6) e rua D (y = 4, que equilibra a distância até a rua E e até a rua A). A verificação do Subpasso 4.4 confirma 3 quarteirões para os três destinos.

D) 4 e E

❌ Incorreta: testar y = E (posição 5) colocaria o imóvel na mesma rua da mãe e do pai, com distância até eles de apenas 2 (só a diferença em x), mas distância até a escola de |5−1| = 4 quarteirões. As distâncias ficam desiguais (2 ≠ 4), então essa rua não serve.

E) 5 e C

❌ Incorreta: além de repetir o erro da rua numerada (5 em vez de 4), essa alternativa combina dois valores que nem separadamente satisfazem as condições de equidistância — é uma alternativa "distratora" que mistura números plausíveis da malha sem obedecer às equações.

🏆 Gabarito: C — O único cruzamento que garante exatamente 3 quarteirões de distância até a mãe, o pai e a escola é o encontro da rua 4 com a rua D, obtido ao resolver |x−6| = |x−2| (que dá x = 4) e, em seguida, 2 + |y−5| = |y−1| (que dá y = 4, ou seria rua D).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a rua 4 com a rua D produz as três distâncias iguais (3 quarteirões cada); qualquer outro cruzamento testado quebra essa igualdade, como mostrado na análise das alternativas.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa mapas de bairros/cidades em malha para testar se o estudante sabe que, quando o deslocamento é restrito a ruas (sem diagonais), a distância correta é a soma dos módulos das diferenças de coordenada — e não a distância em linha reta.
• Generalização: em qualquer malha retangular, para achar o ponto equidistante de vários pontos, trate cada rua como uma coordenada numérica, escreva a distância como soma de módulos e resolva as igualdades separadamente para cada eixo (uma para as "colunas", outra para as "linhas").
• Dica de eliminação rápida: perceba primeiro que dois dos pontos (mãe e pai) estão na mesma rua letra (E) — isso já garante que a coordenada numérica do imóvel é o ponto médio simples entre as ruas 2 e 6, ou seja, a rua 4. Esse único passo elimina de imediato as alternativas A e E, restando apenas testar a rua letra entre B, C, D.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de "menor caminho em quadras urbanas", em otimização de localização de um ponto central (como um CEP ou um centro de distribuição) e em questões de progressões que usam pontos médios em retas numéricas.