Questão 166 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica (distância entre pontos e comprimento de circunferência)
• ⚡ Nível: Difícil — combina leitura de gráfico, duas fórmulas geométricas distintas, conversão de unidades e uma decisão de otimização que contraria a intuição.
• 🎯 Tema/Habilidade: Distância entre dois pontos no plano cartesiano e comprimento de arco de circunferência, aplicados à resolução de um problema de otimização (menor tempo, não menor distância).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre os dois trajetos possíveis (reta ou semicircunferência), qual gera o MENOR TEMPO de construção, sabendo que cada um tem uma velocidade de escavação diferente?"
• Palavras-chave decisivas: menor tempo possível, 1,0 h (reta) × 0,6 h (semicircunferência), urgência
• Armadilha típica: associar "menor tempo" a "menor distância" e escolher automaticamente o segmento de reta, que é visualmente o caminho mais curto entre F e B. A questão inverte essa lógica: o caminho mais longo pode ser construído mais rápido porque tem um ritmo de escavação melhor.
• O que a resposta precisa demonstrar: calcular corretamente as duas distâncias (em metros, não em quilômetros), multiplicar cada uma pelo respectivo tempo por metro e comparar os dois totais para escolher o menor.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Distância entre dois pontos: dados P₁ = (x₁, y₁) e P₂ = (x₂, y₂), a distância é d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. É a base para medir o segmento de reta FB.
• Comprimento de uma semicircunferência: se uma circunferência tem raio r, seu comprimento total é 2πr; logo, uma semicircunferência mede exatamente πr.
• Ponto médio como centro: quando um segmento é diâmetro de uma circunferência, o centro dela é o ponto médio do segmento — isso dá o raio sem fórmulas extras.
• Conversão de unidades: o gráfico está em km, mas o custo é dado por metro. É obrigatório converter km → m (×1000) antes de multiplicar pelo tempo unitário.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "F = (−1, 1)" e "B = (1, −1)" → fornecem as coordenadas exatas dos pontos extremos, permitindo calcular tanto a reta quanto o raio da semicircunferência.
• Evidência 2: "construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto 1 m de construção via semicircunferência demora 0,6 h" → mostra que as duas rotas têm velocidades diferentes de escavação; o trajeto mais curto não é necessariamente o mais rápido de construir.
• Evidência 3: "Há urgência em disponibilizar água" → é a instrução que define o critério de escolha: minimizar o tempo total, e não a extensão da galeria.
• Síntese: o problema exige calcular o comprimento de cada trajeto (reta e semicircunferência), converter para metros, multiplicar pelo tempo unitário de cada técnica e comparar os dois resultados, escolhendo o menor.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Comprimento do segmento de reta FB

Usando a fórmula da distância entre dois pontos com F = (−1, 1) e B = (1, −1):

d(F,B) = √[(1 − (−1))² + (−1 − 1)²] = √[2² + (−2)²] = √8 = 2√2 km

Aplicando a aproximação √2 ≈ 1,4:

d(F,B) = 2 × 1,4 = 2,8 km = 2 800 m

Subpasso 4.2 — Comprimento da semicircunferência

Observando o gráfico, o segmento FB passa exatamente pela origem O, que funciona como ponto médio de F e B — de fato, a média de (−1,1) e (1,−1) é (0,0). Logo, FB é um diâmetro da circunferência que sustenta o arco desenhado, e O é o seu centro.

O raio é a distância de O até F (ou até B):

r = √[(−1 − 0)² + (1 − 0)²] = √2 ≈ 1,4 km

O comprimento de uma semicircunferência é π·r. Usando π ≈ 3:

comprimento = π × r = 3 × 1,4 = 4,2 km = 4 200 m

Subpasso 4.3 — Cálculo dos tempos e verificação

Trajeto reto: 2 800 m × 1,0 h/m = 2 800 h

Trajeto em semicircunferência: 4 200 m × 0,6 h/m = 2 520 h

Mesmo sendo mais longa (4,2 km contra 2,8 km), a semicircunferência é construída num ritmo 40% mais rápido, o que compensa a distância extra. Comparando os dois tempos totais:

2 520 h < 2 800 h

Logo, o menor tempo possível para concluir a galeria é 2 520 horas, o que corresponde exatamente à alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1 260.

❌ Incorreta: esse valor surge se o candidato calcular apenas um quarto de circunferência em vez de uma semicircunferência (comprimento = πr/2 = 2 100 m, e 2 100 × 0,6 = 1 260 h). O erro está em não perceber que o arco desenhado é metade completa da circunferência (de F até B passando pelo lado direito), e não um quarto dela.

B) 2 520.

✅ Correta: é o tempo de construção pela rota em semicircunferência (4 200 m × 0,6 h/m), que é menor do que o tempo pela rota reta (2 800 h). Como há urgência, o critério de escolha é o menor tempo total, e 2 520 h vence a comparação.

C) 2 800.

❌ Incorreta: é o tempo da rota reta (2 800 m × 1,0 h/m). Quem marca essa alternativa caiu na armadilha de assumir que "caminho mais curto = mais rápido de construir", ignorando que a semicircunferência, apesar de mais longa, tem ritmo de escavação superior e resulta em tempo total menor.

D) 3 600.

❌ Incorreta: surge se o candidato confundir Δx = 2 (ou Δy = 2) com o raio da semicircunferência, sem aplicar Pitágoras corretamente. Isso dá comprimento = 3 × 2 = 6 km = 6 000 m, e 6 000 × 0,6 = 3 600 h — erro no cálculo do raio.

E) 4 000.

❌ Incorreta: surge de somar os módulos das variações de coordenadas em vez de aplicar Pitágoras (|Δx| + |Δy| = 2 + 2 = 4 km = 4 000 m), e depois multiplicar por 1,0 h/m — o erro clássico de tratar um deslocamento em "L" como se fosse a distância em linha reta.

🏆 Gabarito: B — a semicircunferência, apesar de ter comprimento maior (4,2 km contra 2,8 km da reta), é construída em ritmo mais rápido (0,6 h/m contra 1,0 h/m), resultando em um tempo total menor: 2 520 h contra 2 800 h.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: entre as duas rotas, apenas a semicircunferência produz 2 520 h, o menor valor comparado às 2 800 h da rota reta — por isso B é a única alternativa compatível com "menor tempo possível".
• Padrão de cobrança: o ENEM adora esse tipo de questão de "otimização disfarçada de geometria", em que o candidato precisa calcular duas ou mais grandezas (aqui, dois comprimentos) e depois aplicar um critério de decisão (tempo, custo, energia) que não é o mesmo da grandeza geométrica pura.
• Generalização: sempre que o problema fornecer taxas diferentes (velocidade, custo por metro, tempo por unidade) para trajetos alternativos, calcule o produto grandeza × taxa para CADA opção antes de decidir — nunca escolha pela distância isoladamente.
• Dica de eliminação rápida: confira sempre a unidade dos dados (aqui, km no gráfico vs. metros no enunciado); alternativas que "esquecem" a conversão de km para m costumam gerar respostas com ordem de grandeza mil vezes menor, o que ajuda a descartar erros grosseiros rapidamente.
• Conexões: esse problema se conecta com "razão entre grandezas e taxas de trabalho" (regra de três com ritmos diferentes) e com "geometria analítica básica" (ponto médio, raio e diâmetro de uma circunferência a partir de coordenadas).