Questão 165 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Aritméticas e Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
• ⚡ Nível: Difícil — exige combinar duas sequências periódicas diferentes e identificar corretamente o "deslocamento" (offset) da sequência de interseção, algo que foge do treino mecânico de MMC
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de padrões periódicos com progressões aritméticas e uso do MMC para encontrar a interseção de duas sequências — competência de resolução de situação-problema com números naturais
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra o número total de andares do prédio, sabendo que João atua nos andares ímpares (1, 3, 5, ...), Pedro atua nos andares 1, 4, 7, ... (de três em três), ambos terminam exatamente no último andar, e há 20 andares em que os dois trabalharam juntos."
• Palavras-chave decisivas: "de dois em dois andares", "de três em três andares", "terminaram seus trabalhos no último andar", "exatamente 20 andares"
• Armadilha típica: calcular o MMC(2, 3) = 6 e assumir que os andares de dupla atuação são os múltiplos de 6 (6, 12, 18, ...), esquecendo que a primeira coincidência das duas equipes acontece no andar 1, não no andar 6.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir cada padrão de trabalho em uma progressão aritmética (PA), encontrar corretamente a PA formada pelos andares comuns às duas equipes e usar a contagem "20 andares comuns" para achar o último termo dessa PA, que é justamente o número de andares do prédio.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Progressão Aritmética (PA): sequência numérica em que cada termo é obtido somando uma razão constante ao anterior. Termo geral: aₙ = a₁ + (n−1)·r.
• Mínimo Múltiplo Comum (MMC) aplicado a PAs: quando duas PAs de razões r₁ e r₂ compartilham o mesmo primeiro termo, os termos que aparecem em ambas formam uma nova PA cuja razão é MMC(r₁, r₂) e cujo primeiro termo é o termo inicial compartilhado.
• Interpretação de "de x em x andares": define uma PA de razão x começando no primeiro andar citado — aqui, tanto João (razão 2) quanto Pedro (razão 3) começam no andar 1.
• Contagem de termos de uma PA: para saber o k-ésimo andar de uma PA, basta aplicar aₖ = a₁ + (k−1)·r; essa é a ferramenta final para transformar "20 andares comuns" em um número de andar.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares" → João forma a PA dos ímpares: aₙ = 2n − 1, com a₁ = 1 e razão 2.
• Evidência 2: "andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares" → Pedro forma a PA bₙ = 3n − 2, com b₁ = 1 e razão 3.
• Evidência 3: "Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar" → o último andar do prédio (N) é, ao mesmo tempo, o último termo da sequência de João e o último termo da sequência de Pedro — ou seja, N pertence à interseção das duas PAs.
• Evidência 4: "em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica" → o número de andares que pertencem simultaneamente às duas PAs (interseção) é 20, e o maior desses 20 andares é exatamente N.
• Síntese: o problema pede o 20º termo da PA formada pelos andares comuns a João e Pedro. Basta montar essa PA de interseção e aplicar a fórmula do termo geral com k = 20.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Modelando as duas sequências de trabalho

João: aₙ = 1 + (n − 1)·2 = 2n − 1 → gera todos os andares ímpares (1, 3, 5, 7, 9, ...).

Pedro: bₙ = 1 + (n − 1)·3 = 3n − 2 → gera os andares 1, 4, 7, 10, 13, ... (todos que deixam resto 1 na divisão por 3).

Subpasso 4.2 — Determinando a sequência de interseção

Um andar pertence às duas frentes de trabalho quando é, ao mesmo tempo, ímpar e deixa resto 1 na divisão por 3. Como 2 e 3 são primos entre si, essa dupla condição equivale a uma única condição módulo MMC(2, 3) = 6.

Testando os primeiros andares: 1 (ímpar, resto 1 em 3) ✓; 7 (ímpar, 7 = 3×2+1) ✓; 13 (ímpar, 13 = 3×4+1) ✓; 19 ✓...

Logo, os andares de dupla atuação formam uma nova PA: 1, 7, 13, 19, ..., com primeiro termo 1 e razão 6 (o MMC das duas razões originais).

Termo geral dessa PA de interseção: cₖ = 1 + (k − 1)·6 = 6k − 5.

Subpasso 4.3 — Aplicando "exatamente 20 andares comuns" e verificando

O enunciado diz que há exatamente 20 andares com dupla atuação, ou seja, k = 20 na PA de interseção:

c₂₀ = 6·(20) − 5 = 120 − 5 = 115.

Como o problema também afirma que "coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar", o último andar do prédio é justamente esse 20º termo da interseção: N = 115.

Verificação: 115 é ímpar (2×57+1) → é o último termo da sequência de João (1, 3, 5, ..., 115). Também vale 115 = 3×38+1 → é o último termo da sequência de Pedro (1, 4, 7, ..., 115). Contando os andares ≡ 1 (mod 6) entre 1 e 115: 1, 7, 13, ..., 115 → (115−1)/6 + 1 = 20 andares, exatamente como o enunciado exige. N = 115.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 40

❌ Incorreta: corresponde a multiplicar apenas a razão de João (2) por 20, isto é, 2×20 = 40. Esse raciocínio ignora completamente a segunda equipe (Pedro) e trata a "dupla atuação" como se dependesse só do padrão hidráulico, quando na verdade a interseção exige que as duas condições (ímpar e resto 1 em 3) sejam satisfeitas ao mesmo tempo.

B) 60

❌ Incorreta: é o erro simétrico ao anterior — multiplica apenas a razão de Pedro (3) por 20, ou seja, 3×20 = 60, considerando somente o padrão elétrico e desprezando a condição de João. Nenhuma das duas equipes isoladas define os andares de "dupla atuação"; é preciso a interseção das duas PAs.

C) 100

❌ Incorreta: surge de somar as razões (2 + 3 = 5) e multiplicar por 20 (5×20 = 100), um erro comum de quem tenta "combinar" as periodicidades de forma aditiva. As razões de PAs distintas não se somam para gerar a periodicidade da interseção — o procedimento correto é calcular o MMC(2, 3) = 6, e não 2 + 3.

D) 115

✅ Correta: é o vigésimo termo da PA de interseção (andares que satisfazem simultaneamente as condições de João e Pedro): c₂₀ = 6×20 − 5 = 115. Esse valor nasce corretamente do primeiro andar comum às duas equipes (andar 1) somado a 19 saltos de razão MMC(2,3) = 6, respeitando que o prédio termina exatamente no 20º andar de dupla atuação.

E) 120

❌ Incorreta: resulta de calcular apenas 6×20 = 120, esquecendo o ajuste de −5 que corrige o fato de a PA de interseção começar no andar 1 (e não no andar 6). É a armadilha mais sedutora da questão — tratar os andares comuns como múltiplos de 6 (6, 12, 18, ..., 120), quando na realidade a sequência correta é 1, 7, 13, ..., 115, pois é no andar 1 que as duas equipes começam a trabalhar juntas.

🏆 Gabarito: D — o número de andares do prédio é 115, o vigésimo termo da progressão aritmética de razão 6 (MMC de 2 e 3) que começa no andar 1, formada pelos andares em que João e Pedro trabalharam simultaneamente.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas N = 115 satisfaz, ao mesmo tempo, ser o 20º termo da sequência de interseção e ser o último andar tanto da PA de João quanto da PA de Pedro — todas as demais alternativas violam alguma dessas condições.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente problemas de "sincronização de eventos periódicos" (ônibus que passam juntos em um ponto, semáforos ou luzes que piscam simultaneamente, dois corredores em uma pista circular que se encontram) — a chave é sempre o MMC das periodicidades combinado com o instante (ou andar) inicial em comum.
• Generalização: quando duas sequências periódicas compartilham o mesmo primeiro termo, os termos comuns a ambas formam uma nova PA cuja razão é o MMC das razões originais e cujo primeiro termo é o valor inicial compartilhado; o k-ésimo termo comum vale a₁ + (k − 1)·MMC(r₁, r₂).
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente o MMC(2, 3) = 6. Qualquer alternativa que não seja da forma 6k − 5 para algum k inteiro provavelmente está errada — isso já descarta A (40), B (60) e C (100) de imediato, restando decidir entre D (115 = 6×20 − 5) e E (120 = 6×20, sem o ajuste do offset inicial).
• Conexões: problemas de MMC e MDC aplicados a horários (ônibus, sinais luminosos, plantões) e problemas de contagem de termos comuns entre duas progressões aritméticas com o mesmo termo inicial.