Questão 157 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística (Medidas de Tendência Central: Média Aritmética)
• ⚡ Nível: Fácil — basta traduzir a condição "média no mínimo 30" em uma inequação do 1º grau e isolar a incógnita.
• 🎯 Tema/Habilidade: Média aritmética aplicada a um contexto real de gestão empresarial (Tratamento da Informação).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o menor lucro que a empresa precisa ter em junho para que a média dos seis meses do semestre não fique abaixo de 30 mil reais?"
• Palavras-chave decisivas: no mínimo, média do lucro mensal do semestre, lucro mínimo
• Armadilha típica: achar que a resposta é o próprio valor-meta (30), sem perceber que os cinco primeiros meses já geraram um resultado abaixo dessa meta em alguns pontos e que junho precisa compensar essa diferença.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a condição verbal ("média ≥ 30") em uma inequação e isolar corretamente a incógnita que representa o lucro de junho.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Média aritmética: soma de todos os valores de um conjunto dividida pela quantidade de valores. Aqui, a quantidade é 6 (janeiro a junho — um semestre completo), não 5.
• Inequação do 1º grau: ferramenta usada para expressar condições de "no mínimo" ou "no máximo"; resolvê-la significa isolar a incógnita mantendo o sentido da desigualdade original.
• Leitura de tabela/gráfico: extrair corretamente os valores numéricos representados — aqui, o lucro de cada mês em milhares de reais — antes de qualquer cálculo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Se a média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanece no cargo" → define a condição matemática: (soma dos 6 lucros) ÷ 6 ≥ 30.
• Evidência 2: "o lucro mensal... de janeiro a maio" → o quadro fornece 5 dos 6 valores necessários; falta o de junho, que é a incógnita x procurada.
• Evidência 3 (dados do quadro): Janeiro = 21, Fevereiro = 35, Março = 21, Abril = 30, Maio = 38 (em milhares de reais).
• Síntese: basta somar os cinco valores conhecidos, inseri-los junto com x na fórmula da média e resolver a inequação (soma total) ÷ 6 ≥ 30.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Somar os lucros conhecidos

21 + 35 + 21 + 30 + 38 = 145 (milhares de reais) — essa é a soma da produção de janeiro a maio.

Subpasso 4.2 — Montar e resolver a inequação da média

Sendo x o lucro de junho, a média do semestre (6 meses) precisa satisfazer:

(145 + x) ÷ 6 ≥ 30

145 + x ≥ 30 × 6

145 + x ≥ 180

x ≥ 180 − 145

x ≥ 35

Subpasso 4.3 — Verificação

Testando x = 35: (145 + 35) ÷ 6 = 180 ÷ 6 = 30 → média exatamente 30, o que satisfaz "no mínimo 30". Qualquer valor menor, como 34, resultaria em 179 ÷ 6 ≈ 29,83 < 30, e o gerente seria demitido. Logo, 35 é o menor lucro que garante a permanência — resultado que bate exatamente com a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 26

❌ Incorreta: com x = 26, a soma total seria 145 + 26 = 171, e a média 171 ÷ 6 = 28,5 — abaixo dos 30 exigidos, o gerente seria demitido. Esse valor costuma surgir de um deslize na subtração 180 − 145 (por exemplo, uma inversão de algarismos no cálculo), erro de atenção na aritmética, não de compreensão do conceito de média.

B) 29

❌ Incorreta: 29 é a média dos cinco meses já conhecidos (145 ÷ 5 = 29), não o lucro de junho. Quem marca essa alternativa confunde "a média que a empresa já vinha tendo até maio" com "o lucro que falta em junho" — esquece que é preciso somar um sexto valor para fechar o semestre, e que esse sexto valor precisa ser maior que a média atual, não igual a ela.

C) 30

❌ Incorreta: é a armadilha mais forte da questão — 30 é o valor-meta da média, não o lucro isolado de junho. Se o gerente lucrasse exatamente 30 em junho, a soma total seria 145 + 30 = 175, e a média cairia para 175 ÷ 6 ≈ 29,17, abaixo do mínimo exigido. Como os meses anteriores não sustentam sozinhos a meta de 30, junho precisa superar esse valor para compensar a diferença acumulada.

D) 31

❌ Incorreta: com x = 31, a soma seria 145 + 31 = 176, e a média 176 ÷ 6 ≈ 29,33 — ainda insuficiente. Esse valor pode surgir de um erro no cálculo da soma dos cinco meses (por exemplo, somar 149 em vez de 145 por leitura equivocada do quadro), o que desloca o resultado final para baixo do valor correto.

E) 35

✅ Correta: é o único valor que, somado aos 145 mil reais já acumulados de janeiro a maio, atinge exatamente a soma mínima de 180 mil reais necessária para que a média dos seis meses seja igual a 30. Qualquer valor igual ou superior a 35 garante a permanência do gerente; 35 é, portanto, o lucro mínimo pedido pelo enunciado.

🏆 Gabarito: E — o lucro de junho precisa ser de, no mínimo, 35 mil reais, pois é o único valor que faz a soma dos seis meses atingir 180 (= 30 × 6), satisfazendo a condição "média ≥ 30" imposta no enunciado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como (145 + x) ÷ 6 ≥ 30 só é satisfeita para x ≥ 35, apenas a alternativa E cumpre a exigência da empresa.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente usa "média com incógnita" em contextos de contas de consumo, notas escolares ou metas de produção — sempre pedindo o valor que falta para atingir (ou não ultrapassar) uma média-alvo.
• Generalização: para achar o valor que falta em uma média com n termos, multiplique a média desejada por n para obter a soma-alvo e subtraia dela a soma dos valores já conhecidos.
• Dica de eliminação rápida: descarte de imediato qualquer alternativa igual ao próprio valor da média-meta (aqui, 30) — essa é quase sempre a armadilha de quem esquece de compensar os meses abaixo da meta; descarte também qualquer valor menor que a meta, pois nunca compensaria um semestre com meses fracos.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões clássicas de "nota que falta para passar" (média escolar) e em problemas de médias ponderadas com pesos diferentes para cada mês ou avaliação.