Questão 178 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (projeções ortogonais de curvas sobre um plano)
• ⚡ Nível: Difícil — exige visualizar mentalmente, em três dimensões, como paralelos e meridianos "achatam-se" sobre um plano quando projetados ortogonalmente, sem nenhum cálculo numérico para se apoiar.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relacionar figuras espaciais (esfera terrestre, paralelos e meridianos) com suas projeções planas — habilidade do eixo "Espaço e Forma" da matriz do ENEM.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado um caminho A→B→C sobre o globo (AB num paralelo, BC num meridiano), qual desenho representa corretamente a sombra/projeção ortogonal desse caminho sobre um plano α paralelo ao equador?"
• Palavras-chave decisivas: projeção ortogonal, mesmo paralelo, mesmo meridiano, plano α paralelo à linha do equador
• Armadilha típica: achar que qualquer trecho "curvo" no globo continua necessariamente curvo na projeção — ou, inversamente, que todo o caminho vira uma linha reta só porque é "visto de cima". A resposta depende de como cada plano (do paralelo e do meridiano) se posiciona em relação a α, não da curvatura em si.
• O que a resposta precisa demonstrar: distinguir que uma curva contida num plano paralelo ao plano de projeção mantém sua forma (continua curva), enquanto uma curva contida num plano perpendicular ao plano de projeção se transforma numa reta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Paralelo: circunferência da esfera terrestre obtida por um plano perpendicular ao eixo Terra–polos; portanto, todo paralelo está contido num plano paralelo ao plano do equador (e, aqui, paralelo a α).
• Meridiano: semicircunferência que liga polo a polo; está contido num plano que passa pelo eixo da Terra, logo esse plano é perpendicular ao plano do equador (e, portanto, perpendicular a α).
• Projeção ortogonal sobre um plano: cada ponto do espaço é "levado" até o plano seguindo uma reta perpendicular a esse plano. Se a figura já está num plano paralelo ao de projeção, ela chega ao plano sem distorcer forma (é uma cópia deslocada). Se a figura está num plano perpendicular ao de projeção, todos os seus pontos caem sobre a mesma reta de interseção entre os dois planos — a figura "colapsa" numa reta.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo" → o trecho A→B está contido num plano paralelo a α; sua projeção preserva a curvatura (continua sendo um arco de circunferência).
• Evidência 2: "os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano" → o trecho B→C está contido num plano perpendicular a α (o plano do meridiano contém o eixo da Terra); sua projeção deve "achatar" em um segmento de reta.
• Evidência 3: "o plano α é paralelo à linha do equador" → a direção de projeção é a do próprio eixo Terra–polos (como se olhássemos o globo de cima, alinhado com os polos).
• Síntese: o desenho correto precisa mostrar um trecho curvo (A→B) seguido de um trecho reto (B→C), e — como a tangente do arco em B (direção do paralelo) não é a mesma direção do segmento reto (direção radial do meridiano) — a mudança de A→B para B→C deve aparecer como uma quebra de direção em B, não como uma transição suave.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Entender a direção da projeção

Como α é paralelo à linha do equador, projetar ortogonalmente sobre α equivale a "olhar" o globo ao longo do eixo Terra–polos (uma vista de topo, tipo planta baixa). Cada ponto da esfera é levado até α apenas eliminando sua "altura" ao longo desse eixo — as coordenadas na direção perpendicular ao eixo são preservadas.

Subpasso 4.2 — Projetando o trecho A→B (sobre o paralelo)

O paralelo que passa por A e B é uma circunferência contida num plano perpendicular ao eixo da Terra — ou seja, um plano paralelo a α. Uma figura contida num plano paralelo ao plano de projeção é apenas transportada (translada) até esse plano, sem qualquer deformação. Logo, a imagem projetada de A→B continua sendo um arco de circunferência, com a mesma concavidade que tinha no paralelo original.

Subpasso 4.3 — Projetando o trecho B→C (sobre o meridiano)

O meridiano que passa por B e C está contido num plano que passa pelo eixo Terra–polos — esse plano é perpendicular a α (pois α é paralelo ao equador, e o eixo é perpendicular ao equador). Quando projetamos ortogonalmente uma curva contida num plano perpendicular ao plano de projeção, todos os seus pontos caem sobre a reta de interseção entre os dois planos: um raio que sai do centro (a projeção do polo) e aponta na direção da longitude de B. Como C está numa latitude maior que B (mais próxima do polo), sua distância ao centro dessa "vista de cima" é menor que a de B. Assim, B→C projeta-se como um segmento de reta, apontando para dentro (em direção ao centro).

Subpasso 4.4 — Verificação: o encontro em B

A direção tangente ao arco em B (direção do paralelo) é perpendicular à direção radial (direção do meridiano) usada pelo segmento B→C. Isso significa que, no ponto B, o caminho projetado muda de direção abruptamente — não há suavidade entre a curva e a reta. O desenho correto precisa, portanto, mostrar: (1) um arco de A a B, (2) um segmento reto de B a C, e (3) uma quebra de direção nítida no encontro dos dois.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Arco curvo de A a B, seguido de OUTRO arco curvo de B a C

❌ Incorreta: erra o trecho B→C. Como o meridiano está num plano perpendicular a α, sua projeção deveria ser uma reta, e não uma segunda curva. Mostrar B→C curvo ignora que o plano do meridiano "colapsa" em linha reta ao ser projetado.

B) Segmento reto de A a B, seguido de segmento reto de B a C (formando um ângulo reto, tipo "L")

❌ Incorreta: erra o trecho A→B. Como o paralelo está num plano paralelo a α, sua projeção deveria preservar a curvatura (arco), e não virar uma reta — aqui os papéis do paralelo e do meridiano foram invertidos.

C) Segmento reto de A a B, com B e C coincidindo no mesmo ponto

❌ Incorreta: acumula dois erros — além de tratar A→B como reta (deveria ser arco), faz B e C coincidirem, como se estivessem à mesma distância do eixo polar. Mas B e C estão em latitudes diferentes, então suas projeções (distâncias ao centro) são diferentes; C não pode coincidir com B.

D) Arco curvo de A a B (correto), mas com B e C coincidindo no mesmo ponto

❌ Incorreta: acerta a forma do primeiro trecho, mas anula o segundo. Só faria sentido C coincidir com B se eles estivessem na mesma latitude (o que tornaria o trecho B→C inexistente) ou se C fosse o próprio polo — nenhuma das duas coisas é o caso na figura, onde C está claramente numa latitude maior que B, mas ainda longe do polo.

E) Arco curvo de A a B, seguido de um segmento reto (curto) de B a C, com mudança de direção em B

✅ Correta: reproduz exatamente o comportamento esperado — o paralelo AB projeta-se preservando sua curvatura (plano paralelo a α) e o meridiano BC projeta-se como reta, apontando para o centro (plano perpendicular a α), com uma quebra de direção no encontro em B, já que a tangente do arco e a direção radial do segmento não são a mesma.

🏆 Gabarito: E — é a única alternativa que projeta o trecho do paralelo como arco e o trecho do meridiano como reta, respeitando a relação entre cada plano (do paralelo e do meridiano) e o plano de projeção α.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E combina corretamente arco (para o paralelo, plano paralelo a α) com reta (para o meridiano, plano perpendicular a α) e ainda mostra a quebra de direção esperada no ponto B.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa esse tipo de questão para testar visualização espacial sem fórmulas — pede para reconhecer como sombras/projeções de curvas mudam (ou não) de forma conforme a orientação do plano que as contém em relação ao plano de projeção.
• Generalização: regra-chave para qualquer questão de projeção ortogonal — uma figura contida num plano paralelo ao plano de projeção mantém sua forma; uma figura contida num plano perpendicular ao plano de projeção "achata-se" numa reta (a interseção dos dois planos).
• Dica de eliminação rápida: primeiro, garanta que o trecho A→B (paralelo, plano paralelo a α) seja curvo — isso já elimina B e C. Depois, garanta que B e C sejam pontos distintos na projeção (latitudes diferentes) — isso elimina D. Por fim, garanta que o trecho B→C (meridiano, plano perpendicular a α) seja reto, não curvo — isso elimina A, restando E.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de vistas ortográficas (planta, corte, elevação) de sólidos e em problemas de sombra projetada por objetos sob luz paralela — sempre pergunte "o plano da figura é paralelo ou perpendicular ao plano onde estou projetando?".