Questão 158 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (equação da reta) e leitura/extrapolação de gráficos
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas exige montar a lei da reta a partir do gráfico e entender que o tempo pedido é contado a partir do sexto mês, não desde o início
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos do cotidiano com função afim — resolver situação-problema que envolve grandezas diretamente relacionadas por uma variação constante
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Mantendo o mesmo ritmo de queda mostrado no gráfico, quanto tempo, no mínimo, depois do mês 6, o nível do reservatório demora para chegar a 0%?"
• Palavras-chave decisivas: tendência linear se prolongue, após o sexto mês, nível zero
• Armadilha típica: calcular corretamente o mês em que o nível zera (mês 8,5), mas esquecer de subtrair os 6 meses já passados — respondendo "8 meses e meio" em vez de "2 meses e meio"; ou, no sentido oposto, contar a partir de um ponto errado do gráfico (mês 5 ou mês 7) por descuido de leitura.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair a taxa de variação constante do gráfico, escrever a lei da função afim que descreve o nível do reservatório e resolver a equação para o instante em que ela se anula, isolando exatamente o intervalo pedido (contado a partir do mês 6).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (1º grau): função do tipo f(t) = at + b, cujo gráfico é uma reta; "a" é a taxa de variação constante e "b" é o valor em t = 0.
• Coeficiente angular (taxa de variação): razão entre a variação da grandeza dependente (nível do reservatório) e a variação da grandeza independente (tempo); numa reta, esse valor é o mesmo entre quaisquer dois pontos do gráfico.
• Extrapolação linear: usar a mesma lei de formação da reta para prever valores fora do intervalo observado — só é válida porque o enunciado garante explicitamente que a tendência linear continua.
• Zero de uma função: valor de t para o qual f(t) = 0; no gráfico, é o ponto em que a reta cruzaria o eixo horizontal (o eixo do tempo).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Suponha que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pelos próximos meses" → autoriza estender a reta do gráfico para além do 6º mês, mantendo a mesma taxa de queda constante observada nos 6 meses monitorados.
• Evidência 2 (do gráfico): os pontos marcados são (1;30%), (2;26%), (3;22%), (4;18%), (5;14%) e (6;10%) → a cada mês o nível cai exatamente 4 pontos percentuais, confirmando um padrão linear (progressão aritmética de razão -4).
• Evidência 3: "tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero" → pede Δt = t − 6, ou seja, quanto tempo falta contado a partir do 6º mês (onde o nível já é 10%, valor lido diretamente no gráfico), e não o tempo total desde o início do monitoramento.
• Síntese: o caminho de resolução é: (1) obter a taxa de variação mensal a partir de dois pontos do gráfico; (2) escrever a lei N(t); (3) resolver N(t) = 0; (4) subtrair 6 do resultado para responder exatamente o que foi perguntado.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Taxa de variação a partir do gráfico

Do gráfico, dois pontos bem definidos são (1 mês; 30%) e (6 meses; 10%). O coeficiente angular da reta é:

a = ΔN/Δt = (10% − 30%) / (6 − 1) = −20%/5 = −4% por mês

Essa taxa é confirmada pela sequência de valores lidos ponto a ponto no gráfico: 30% → 26% → 22% → 18% → 14% → 10%, sempre com queda de exatamente 4 pontos percentuais por mês — o comportamento típico de uma função afim (ou, de forma equivalente, de uma progressão aritmética de razão −4).

Subpasso 4.2 — Lei da função e verificação

Usando o ponto (1; 30) na forma N(t) = N(1) + a·(t − 1):

N(t) = 30 − 4(t − 1) = 30 − 4t + 4 = 34 − 4t

Verificação com o mês 6: N(6) = 34 − 4·6 = 34 − 24 = 10%, exatamente o valor lido no gráfico. A lei está correta.

Subpasso 4.3 — Encontrando o nível zero e isolando o tempo pedido

O reservatório atinge o nível zero quando N(t) = 0:

34 − 4t = 0 ⟹ 4t = 34 ⟹ t = 34/4 = 8,5 meses

Como a pergunta quer o tempo contado após o sexto mês, calcula-se:

Δt = t − 6 = 8,5 − 6 = 2,5 meses = 2 meses e meio

Atalho de verificação: a partir do mês 6 o nível já é 10% e cai 4 pontos percentuais por mês. Para zerar, basta dividir a distância que falta pela velocidade de queda: 10% ÷ 4% por mês = 2,5 meses. O mesmo resultado é obtido sem precisar montar a lei completa da função, o que confirma a resposta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2 meses e meio.

✅ Correta: é exatamente o Δt = 2,5 meses calculado a partir do mês 6, tanto pela lei da função (t = 8,5 → Δt = 8,5 − 6) quanto pelo atalho direto (10% ÷ 4%/mês).

B) 3 meses e meio.

❌ Incorreta: esse valor surge se o candidato usar como referência o nível do mês 5 (14%) em vez do mês 6 (10%) — calculando 14% ÷ 4%/mês = 3,5 — e ainda assim tentar responder "após o sexto mês", misturando dois pontos diferentes do gráfico.

C) 1 mês e meio.

❌ Incorreta: costuma vir de deslocar o ponto de partida da contagem um mês à frente por engano, isto é, tratar "após o sexto mês" como se fosse a partir do 7º mês (N(7) = 34 − 28 = 6%) e então calcular 6% ÷ 4%/mês = 1,5. O erro conceitual é começar a contagem um mês depois do que o enunciado pede.

D) 4 meses.

❌ Incorreta: aparece tipicamente de uma leitura equivocada do gráfico no mês 6 (por exemplo, confundir a linha de grade e ler 16% em vez de 10%) e então dividir 16% ÷ 4%/mês = 4. O erro está na leitura do ponto de partida, não no raciocínio da taxa de variação.

E) 1 mês.

❌ Incorreta: costuma vir de olhar apenas o intervalo entre os dois últimos pontos marcados no gráfico (do mês 5, com 14%, para o mês 6, com 10%) e interpretar essa única queda de 4 pontos percentuais como "1 mês até zerar", sem de fato continuar a extrapolação linear até o nível chegar a 0%.

🏆 Gabarito: A — o nível do reservatório, descrito pela função afim N(t) = 34 − 4t, atinge zero em t = 8,5 meses; como a pergunta pede o tempo contado a partir do 6º mês, a resposta é 8,5 − 6 = 2,5 meses, ou seja, 2 meses e meio.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única alternativa compatível com a taxa de queda de 4 pontos percentuais por mês, aplicada a partir do valor real do mês 6 (10%), é 2,5 meses — a letra A.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora combinar leitura de gráfico linear com extrapolação de tendência — o aluno precisa primeiro confirmar que os pontos formam mesmo uma reta (variação constante) antes de projetar valores fora do intervalo mostrado.
• Generalização: sempre que um gráfico linear crescente ou decrescente pedir "quando a grandeza atinge um certo valor", o caminho mais rápido é: (1) achar a taxa de variação entre dois pontos conhecidos, (2) montar N(t) = N₀ + a·(t − t₀) e (3) resolver a equação para o valor pedido, atentando ao ponto de referência exigido pela pergunta.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a taxa de variação (aqui, −4%/mês) e o valor no ponto de referência citado no comando (aqui, 10% no mês 6); o resultado da divisão precisa ser exato e coerente com esses dois números — isso já elimina de cara alternativas que só fariam sentido a partir de outro ponto do gráfico.
• Conexões: este mesmo raciocínio aparece em questões de progressão aritmética (razão constante) e em problemas de custo/consumo com "taxa fixa por período", como contas de água, luz ou depreciação linear de um bem.