Questão 175 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (poliedros e secções planas)
• ⚡ Nível: Difícil — exige visualização espacial abstrata, sem apoio de cálculos numéricos, um tipo de raciocínio pouco treinado pela maioria dos alunos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Classificação dos polígonos obtidos por secções planas em uma pirâmide (Competência de área 2 — conhecimentos geométricos)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quais polígonos podem surgir quando um plano corta uma pirâmide regular de base quadrada, considerando TODAS as posições possíveis desse plano?"
• Palavras-chave decisivas: intersecções, plano, pirâmide regular de base quadrada
• Armadilha típica: lembrar só do corte "clássico" — paralelo à base (dá um quadrado) ou próximo do vértice (dá um triângulo) — e esquecer secções mais gerais, como trapézios, quadriláteros irregulares e, principalmente, pentágonos.
• O que a resposta precisa demonstrar: o domínio de que o número máximo de lados de uma secção plana em um poliedro convexo é limitado pelo número de faces que o plano consegue atravessar — e que uma pirâmide de base quadrada tem exatamente 5 faces.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Pirâmide regular de base quadrada: sólido com 5 faces — 1 base quadrada (ABCD) e 4 faces laterais triangulares congruentes, que se encontram no ápice V.
• Secção plana: polígono formado pela intersecção de um plano com a superfície de um poliedro convexo; cada lado da secção fica contido em uma única face do sólido.
• Princípio do número de lados: um plano cruza cada face de um poliedro convexo no máximo uma vez, em um único segmento. Logo, o número de lados do polígono-secção é, no máximo, igual ao número de faces interceptadas pelo plano.
• Classificação de quadriláteros: quadrado (4 lados iguais, 2 pares de lados paralelos), trapézio (só 1 par de lados paralelos) e quadrilátero irregular (nenhum par de lados paralelos).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada" → o problema não fixa a posição do plano; é preciso varrer mentalmente todas as inclinações e alturas de corte possíveis.
• Evidência 2: "pirâmide regular de base quadrada" → o sólido tem exatamente 5 faces (1 base + 4 laterais), o que estabelece um teto: nenhuma secção pode ter mais de 5 lados.
• Síntese: a questão testa se o aluno percebe que, variando a posição do plano de corte, é possível obter secções de 3 lados (triângulo) até 5 lados (pentágono), passando por todos os tipos intermediários de quadrilátero — e que esse teto de 5 lados vem diretamente do número de faces da pirâmide.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contando as faces da pirâmide

Uma pirâmide regular de base quadrada tem 5 faces: a base quadrada ABCD e as 4 faces laterais triangulares que convergem no vértice V. Como cada face contribui com, no máximo, um segmento para a secção, o polígono resultante do corte pode ter, no máximo, 5 lados. Esse é o "teto" teórico do problema: um pentágono.

Subpasso 4.2 — Construindo cada polígono possível

• Triângulo (3 lados): plano próximo ao vértice V, interceptando apenas 3 faces laterais (sem tocar a base nem a 4ª face), gera um pequeno triângulo. Também dá para "cortar uma quina" da base com um plano por 2 faces laterais adjacentes e pela base — outro triângulo.
• Quadrado (4 lados, caso especial): plano paralelo à base intercepta as 4 faces laterais em segmentos proporcionais aos lados de ABCD (por semelhança de triângulos), reproduzindo um quadrado menor.
• Trapézio (4 lados, um par paralelo): plano inclinado, mas paralelo a uma aresta da base (ou a duas arestas laterais opostas), intercepta 4 faces e gera exatamente um par de lados paralelos.
• Quadrilátero irregular (4 lados, sem paralelismo): plano inclinado sem paralelismo especial com as arestas do sólido, ao interceptar 4 faces produz um quadrilátero qualquer, sem lados paralelos.
• Pentágono (5 lados, caso máximo): plano que intercepta simultaneamente as 5 faces (base + 4 laterais) — "raspando" perto da base de um lado e subindo até o vértice do lado oposto — gera um lado por face, totalizando 5 lados.

Subpasso 4.3 — Verificação

Os cinco tipos de polígono (triângulo, quadrado, trapézio, quadrilátero irregular e pentágono) foram obtidos por posições geometricamente válidas do plano de corte, e nenhum polígono com 6 ou mais lados é possível, pois o sólido só tem 5 faces. Isso bate exatamente com a alternativa que lista "triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas".

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Quadrados, apenas

❌ Incorreta: considera só o corte paralelo à base, ignorando que inclinações do plano também produzem triângulos, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos.

B) Triângulos e quadrados, apenas

❌ Incorreta: reconhece os dois casos mais intuitivos (corte perto do ápice → triângulo; corte paralelo à base → quadrado), mas esquece as secções oblíquas que atravessam 4 ou 5 faces.

C) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas

❌ Incorreta: admite cortes inclinados que preservam um par de lados paralelos (trapézio), mas ainda exclui secções sem paralelismo (quadrilátero irregular) e a secção máxima de 5 lados (pentágono).

D) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas.

❌ Incorreta: contempla corretamente todos os polígonos de até 4 lados, mas erra ao limitar o corte a no máximo 4 faces — esquecendo que um plano pode atravessar simultaneamente a base e as 4 faces laterais, gerando um pentágono.

E) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas.

✅ Correta: contempla todos os polígonos que uma pirâmide de base quadrada (5 faces) pode gerar por secção plana, do mínimo (triângulo) ao máximo (pentágono = número de faces do sólido), sem incluir polígonos impossíveis, como hexágonos.

🏆 Gabarito: E — a pirâmide regular de base quadrada tem exatamente 5 faces, então seu plano de secção pode gerar de 3 a 5 lados: triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos — nunca mais que isso.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E esgota corretamente as possibilidades, cobrindo do triângulo (3 lados) ao pentágono (5 lados = nº de faces da pirâmide), sem faltar nem sobrar caso.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de testar secções planas em sólidos (pirâmides, prismas, cubos) de forma conceitual, pedindo para identificar ou contar os polígonos possíveis, sem exigir cálculo — o foco é visualização espacial e raciocínio sobre faces e arestas.
• Generalização: em qualquer poliedro convexo, o número máximo de lados de uma secção plana é igual ao número de faces do sólido; para mapear os tipos possíveis, pense desde a face mínima interceptada (polígono mais simples) até todas as faces interceptadas (polígono mais complexo).
• Dica de eliminação rápida: conte as faces do sólido (aqui, 5). Alternativa que "pare antes" desse teto, sem citar o polígono de 5 lados, está incompleta; alternativa que ultrapasse esse teto, citando hexágono, estaria errada por excesso.
• Conexões: o mesmo raciocínio se aplica a secções de cubos e prismas (que podem gerar até hexágonos, no caso do cubo) e ao estudo geral de poliedros em geometria espacial.