Questão 156 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Grandezas proporcionais, área do quadrado e função afim (taxa de variação constante)
• ⚡ Nível: Médio — as operações são simples, mas exige encadear corretamente quatro etapas de cálculo sem perder nenhuma delas
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situações reais com grandezas diretamente proporcionais e crescimento linear no tempo (Competência de Área 5 do ENEM — Matemática e suas Tecnologias)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Some a população já presente às 10h com o crescimento populacional até as 16h e divida o total pela razão de pessoas por policial."
• Palavras-chave decisivas: "4 h da tarde" (horário-limite do evento), "120 000 pessoas por hora" (taxa de crescimento), "2 000 pessoas" (razão policial/público)
• Armadilha típica: calcular o intervalo de tempo errado (confundir "4h da tarde" com "4 horas de intervalo") ou esquecer de somar a população que já estava presente às 10h, considerando apenas o crescimento posterior.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir um texto longo em uma sequência lógica de cálculos — área → densidade → população inicial; taxa × tempo → população adicional; população total ÷ razão → número de policiais.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do quadrado: A = lado², usada para descobrir quantos metros quadrados de terreno estavam ocupados às 10h da manhã.
• Densidade demográfica (proporcionalidade direta): número de pessoas = densidade (pessoas/m²) × área ocupada (m²).
• Função afim / taxa de variação constante: quando uma grandeza cresce a uma taxa fixa por unidade de tempo, o valor final é dado por valor inicial + taxa × intervalo de tempo — exatamente o modelo P(t) = P₀ + k·t.
• Razão/proporcionalidade direta (policiais por pessoa): número de policiais = total de pessoas ÷ pessoas cobertas por policial.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "evento que terá início às 4 h da tarde" → o instante final de todos os cálculos é 16h, e é nesse momento que a pergunta quer o número de policiais.
• Evidência 2: "Às 10 h da manhã ... a área ... equivale a um quadrado com lados medindo 500 m" → fornece o dado geométrico (lado = 500 m) que, combinado com a densidade de 4 pessoas/m², dá a população já presente nesse horário.
• Evidência 3: "espera-se que o público aumente a uma taxa de 120 000 pessoas por hora até o início do evento" → informa uma taxa de crescimento constante que deve ser multiplicada pelo número de horas entre 10h e 16h (e não apenas somada uma vez).
• Síntese: o caminho da resolução é: (1) calcular a área ocupada às 10h e transformá-la em população via densidade; (2) calcular quantas horas faltam até as 16h e multiplicar pela taxa de crescimento; (3) somar os dois resultados; (4) dividir pelo número de pessoas por policial.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — População presente às 10h da manhã

A área ocupada é um quadrado de lado 500 m, logo:

A = 500² = 250 000 m²

Como a densidade é de 4 pessoas por metro quadrado:

População₁₀ₕ = 4 × 250 000 = 1 000 000 pessoas

Subpasso 4.2 — Crescimento populacional até o início do evento

O evento começa às 16h (4h da tarde). O intervalo entre a observação e o início do evento é:

Δt = 16h − 10h = 6 horas

Como o público cresce a uma taxa constante de 120 000 pessoas/hora, o acréscimo total é:

ΔPopulação = 120 000 × 6 = 720 000 pessoas

Portanto, a população total no início do evento é:

P_total = 1 000 000 + 720 000 = 1 720 000 pessoas

Subpasso 4.3 — Número de policiais necessários (Verificação)

Como é necessário 1 policial para cada 2 000 pessoas:

Nº de policiais = 1 720 000 ÷ 2 000 = 860

Esse valor bate exatamente com a alternativa E, confirmando que a sequência de cálculos (área → população inicial → crescimento no tempo → razão policial/pessoas) foi aplicada corretamente.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 360

❌ Incorreta: esse valor surge de calcular apenas o crescimento populacional (720 000 ÷ 2 000 = 360), esquecendo de somar o 1 000 000 de pessoas que já estavam presentes às 10h. É o erro de tratar a taxa de crescimento como se fosse a população total, ignorando a condição inicial do problema.

B) 485

❌ Incorreta: esse resultado aparece quando se esquece de aplicar a densidade de 4 pessoas/m² sobre a área. Ao tratar os 250 000 m² diretamente como "250 000 pessoas" (sem multiplicar por 4) e somar o crescimento de 720 000, chega-se a 970 000 ÷ 2 000 = 485. O erro conceitual é confundir área ocupada com número de pessoas.

C) 560

❌ Incorreta: esse valor decorre de somar a taxa de crescimento apenas uma vez (120 000), como se o aumento fosse um valor fixo e não uma taxa por hora: 1 000 000 + 120 000 = 1 120 000 ÷ 2 000 = 560. O erro é não multiplicar a taxa pelo número de horas do intervalo (Δt = 6h), tratando uma grandeza de fluxo (pessoas/hora) como se fosse uma grandeza absoluta.

D) 740

❌ Incorreta: esse resultado aparece quando o intervalo de tempo é calculado erroneamente como 4 horas — provavelmente por confundir o "4" de "4h da tarde" com a duração do intervalo, em vez de calcular corretamente 16h − 10h = 6h. Com Δt = 4h: 120 000 × 4 = 480 000; 1 000 000 + 480 000 = 1 480 000 ÷ 2 000 = 740. O erro é de leitura do horário, não de estrutura de cálculo.

E) 860

✅ Correta: soma corretamente a população inicial (1 000 000, obtida de área × densidade) com o crescimento no intervalo correto de 6 horas (120 000 × 6 = 720 000), totalizando 1 720 000 pessoas, e divide pela razão de 2 000 pessoas por policial, resultando em 860 policiais.

🏆 Gabarito: E — a única alternativa que soma corretamente a população já presente às 10h (via área × densidade) com o crescimento correto no intervalo de 6 horas até as 16h, dividindo o total pela razão de 2 000 pessoas por policial.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a letra E integra os quatro dados do enunciado (lado do quadrado, densidade, taxa de crescimento e horário) sem descartar nenhum deles nem errar o intervalo de tempo, resultando em 1 720 000 pessoas e 860 policiais.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora problemas de "múltiplas etapas encadeadas", em que cada dado do texto alimenta um cálculo seguinte — área vira população, população cresce com o tempo, e o total é convertido em outra grandeza (aqui, policiais) por uma razão fixa. Esse formato aparece com frequência em questões de proporcionalidade, funções e grandezas contextualizadas.
• Generalização: sempre que o enunciado apresentar uma "situação inicial conhecida" + uma "taxa de variação constante" + um "intervalo de tempo", o modelo a aplicar é o de função afim: valor final = valor inicial + taxa × intervalo. Depois, se a pergunta pedir outra grandeza (como número de policiais), basta aplicar a razão de proporcionalidade fornecida.
• Dica de eliminação rápida: antes de calcular, sublinhe os dois horários do problema e calcule o intervalo de tempo primeiro — muitos erros (como o da alternativa D) nascem de uma leitura apressada do horário. Em seguida, confira se a resposta usa TODOS os dados numéricos do enunciado; se algum número "sumiu" da sua conta, você provavelmente caiu em uma das armadilhas das alternativas A, B ou C.
• Conexões: este problema se conecta diretamente com questões de função afim (P(t) = P₀ + kt), de grandezas diretamente proporcionais (densidade e razão populacional) e de interpretação de gráficos de crescimento linear, temas recorrentes nas provas de matemática do ENEM.