Questão 147 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (combinação simples e princípio multiplicativo)
• ⚡ Nível: Médio — exige reconhecer que a restrição do enunciado pede uma contagem por exclusão (ou por casos complementares), e não a aplicação mecânica de uma única fórmula.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem com restrição usando combinações — competência de resolver problemas de contagem que envolvem princípios da análise combinatória.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quantas formas posso escolher 2 tenistas dentre 10 (4 canhotos e 6 destros) para uma partida, sendo proibida a dupla formada só por canhotos?"
• Palavras-chave decisivas: não poderão ser ambos canhotos, dois desses jogadores, número de possibilidades de escolha
• Armadilha típica: tratar o problema como arranjo (considerar a ordem dos jogadores) em vez de combinação, já que "partida entre A e B" é a mesma coisa que "partida entre B e A" — não existe primeiro ou segundo jogador na dupla.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de calcular o total de duplas possíveis e descontar exatamente os casos proibidos (canhoto + canhoto), sem contá-los nem de menos nem de mais.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Combinação simples C(n,p): conta agrupamentos de p elementos escolhidos entre n, em que a ORDEM NÃO IMPORTA. Fórmula: C(n,p) = n!/(p! × (n−p)!). É o modelo correto aqui, pois "partida entre X e Y" é idêntica a "partida entre Y e X".
• Contagem por exclusão (complementar): quando é mais simples calcular o total de possibilidades e depois subtrair os casos que não podem ocorrer. Total desejado = Total sem restrição − Casos proibidos.
• Diferença entre combinação e arranjo: arranjo A(n,p) = n!/(n−p)! leva em conta a ordem dos elementos escolhidos. Usar arranjo em um problema onde a ordem não importa infla o resultado, pois cada dupla acaba sendo contada duas vezes.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros" → define o universo total (n = 10) e os dois subgrupos relevantes para a restrição (4 e 6).
• Evidência 2: "não poderão ser ambos canhotos" → a única dupla proibida é "canhoto + canhoto"; as duplas "destro + destro" e "canhoto + destro" são permitidas.
• Evidência 3: "número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida" → pede uma escolha não ordenada de 2 pessoas dentre 10, ou seja, combinação, não arranjo.
• Síntese: o caminho mais direto é calcular todas as combinações possíveis de 2 tenistas entre os 10 (sem restrição) e, em seguida, subtrair exatamente as combinações formadas só por canhotos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar o total de duplas possíveis, sem restrição

Como a ordem dos jogadores na partida não importa, o número de duplas possíveis entre os 10 tenistas é dado pela combinação de 10 elementos tomados 2 a 2:

C(10,2) = 10!/(2! × 8!) = (10 × 9)/(2 × 1) = 90/2 = 45

Ou seja, existem 45 duplas possíveis se não houvesse nenhuma restrição de canhotos.

Subpasso 4.2 — Contar e descontar as duplas proibidas

A única restrição é "não podem ser ambos canhotos". Logo, é preciso calcular quantas dessas 45 duplas são formadas só por 2 canhotos e retirá-las do total. Com 4 canhotos disponíveis:

C(4,2) = 4!/(2! × 2!) = (4 × 3)/(2 × 1) = 12/2 = 6

Das 45 duplas totais, 6 são inválidas (canhoto + canhoto) e devem ser subtraídas:

Total válido = C(10,2) − C(4,2) = 45 − 6 = 39

Subpasso 4.3 — Verificação por caminho alternativo (contagem direta dos casos permitidos)

Uma boa forma de conferir o resultado é montar os casos permitidos diretamente, sem usar exclusão:

• Dupla com 2 destros: C(6,2) = 6!/(2! × 4!) = (6 × 5)/2 = 15
• Dupla com 1 canhoto e 1 destro: 4 × 6 = 24 (princípio multiplicativo: qualquer um dos 4 canhotos combinado com qualquer um dos 6 destros)

Somando: 15 + 24 = 39

O resultado bate exatamente com o obtido por exclusão (45 − 6 = 39), confirmando que a expressão 10!/(2! × 8!) − 4!/(2! × 2!) representa corretamente a contagem pedida.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 10!/(2! × 8!) − 4!/(2! × 2!)

✅ Correta: é exatamente C(10,2) − C(4,2), isto é, todas as duplas possíveis menos as duplas formadas só por canhotos. Resultado: 45 − 6 = 39, coerente com o Passo 4.

B) 10!/8! − 4!/2!

❌ Incorreta: usa arranjo em vez de combinação em ambos os termos (10!/8! = A(10,2) = 90 e 4!/2! = A(4,2) = 12), esquecendo de dividir por 2! para eliminar a duplicidade de ordem — cada dupla acaba contada duas vezes, como "A e B" e "B e A". Resultado: 90 − 12 = 78, número muito acima das duplas realmente distintas.

C) 10!/(2! × 8!) − 2

❌ Incorreta: acerta o total de 45 duplas (C(10,2)), mas subtrai apenas "2" em vez de subtrair as C(4,2) = 6 duplas formadas por dois canhotos — como se bastasse descontar os 2 jogadores canhotos "extras" em vez das combinações entre eles. Resultado: 45 − 2 = 43, incorreto.

D) 6!/4! + 4 × 4

❌ Incorreta: comete dois erros conceituais. Primeiro, 6!/4! = A(6,2) = 30 é um arranjo (com ordem), não a combinação C(6,2) = 15 das duplas de destros. Segundo, o termo "4 × 4" não representa os pares canhoto-destro, que deveriam ser 4 × 6 = 24 (4 canhotos combinados com os 6 destros disponíveis), não 4 × 4. Resultado: 30 + 16 = 46, incorreto.

E) 6!/4! + 6 × 4

❌ Incorreta: acerta a estratégia de somar os casos permitidos (destro+destro e canhoto+destro) e acerta o termo misto 6 × 4 = 24, mas erra ao usar 6!/4! = A(6,2) = 30 (arranjo) no lugar de C(6,2) = 15 (combinação) para as duplas de destros, contando cada dupla duas vezes. Resultado: 30 + 24 = 54, incorreto.

🏆 Gabarito: A — a única expressão que aplica corretamente o conceito de combinação (sem considerar ordem) tanto no total de duplas quanto no grupo de canhotos, chegando a 45 − 6 = 39 possibilidades.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa A usa combinação (n!/(p! × (n−p)!)) de forma consistente nos dois termos da subtração, produzindo o único resultado matematicamente coerente com a restrição do enunciado — 39 duplas possíveis.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência problemas de contagem com "restrição negativa" (expressões como "não podem", "é proibido", "não pode ocorrer"), que geralmente se resolvem melhor por complementação: total sem restrição menos os casos proibidos.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "não pode ser X" em vez de descrever diretamente "os casos permitidos são...", compare duas estratégias — (1) total menos proibido, e (2) soma dos casos permitidos separados por categoria — e use a mais rápida de calcular; as duas devem coincidir, servindo como conferência do resultado.
• Dica de eliminação rápida: pergunte "a ordem dos escolhidos importa?". Se não importa (como escalar uma dupla para uma partida), a fórmula precisa ter fatorial no denominador dos dois lados (p! × (n−p)!). Qualquer alternativa que mostre "n!/(n−p)!" sozinho, sem dividir por p!, é arranjo disfarçado e pode ser descartada — isso elimina B, D e E em poucos segundos.
• Conexões: o mesmo raciocínio de complementação aparece em problemas de "formação de comissões com restrição de membros específicos" e em probabilidade condicionada por exclusão de eventos (P(A) = 1 − P(não A)).