Questão 149 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (Função Quadrática e Função Afim) e Leitura de Gráficos
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar a leitura do vértice de uma parábola com o cálculo do coeficiente angular de uma reta a partir do gráfico
• 🎯 Tema/Habilidade: Coeficiente angular da reta como taxa de variação; modelagem de fenômenos por meio de gráficos
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quanto o coeficiente angular da reta de B precisa mudar para que, no instante em que A atinge a altura máxima, B esteja exatamente nessa mesma altura?"
• Palavras-chave decisivas: altura máxima, interceptar, coeficiente angular
• Armadilha típica: calcular corretamente o novo coeficiente angular (que vale 4) e marcar a alternativa "aumentar em 4", confundindo o valor final do coeficiente com a variação pedida — como o coeficiente atual já vale 2, o aumento real é 4 − 2 = 2.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair dois dados do gráfico (o vértice da parábola de A e o coeficiente angular atual de B), impor a condição de encontro no instante certo e calcular corretamente a diferença entre o coeficiente novo e o antigo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática (trajetória parabólica): descreve o lançamento de A, h(t) = at² + bt + c. O vértice da parábola é o ponto de altura máxima; no gráfico, ele aparece como o topo da curva e pode ser identificado diretamente pela simetria dos pontos ao redor dele.
• Função afim (trajetória retilínea): descreve B, h(t) = mt + h₀. O coeficiente m (coeficiente angular) é a taxa de variação da altura por segundo e é obtido por m = Δh/Δt entre dois pontos da reta.
• Condição de interceptação: dois móveis só se encontram quando compartilham, no mesmo instante t, a mesma posição (altura). Não basta terem a mesma altura em momentos diferentes.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima" → o encontro deve ocorrer exatamente no instante t em que a parábola de A atinge seu vértice, e não em outro ponto qualquer do percurso.
• Evidência 2: o gráfico mostra a curva de A com topo em (4, 16) — simétrico, pois h(3) = h(5) = 15 m e h(2) = h(6) = 12 m e h(1) = h(7) = 7 m — e a reta de B passando pela origem com pontos marcados em (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)…
• Síntese: a altura máxima de A é 16 m, atingida em t = 4 s. Na trajetória atual, B só alcança 8 m nesse instante. É preciso recalcular a inclinação de B para que, em t = 4 s, sua altura também seja 16 m — e depois comparar esse novo coeficiente com o atual.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Localizar a altura máxima de A

A curva de A cresce, atinge o topo em t = 4 s com h = 16 m, e decresce de forma simétrica depois disso (15 m em t = 3 s e t = 5 s; 12 m em t = 2 s e t = 6 s; 7 m em t = 1 s e t = 7 s). Essa simetria perfeita em torno de t = 4 confirma o vértice da parábola: A atinge sua altura máxima de 16 m no instante t = 4 s — é exatamente aí que B precisa estar.

Subpasso 4.2 — Determinar o coeficiente angular atual de B

Os pontos assinalados sobre a reta de B — (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)... — mostram um crescimento constante de 2 m por segundo, e a reta parte da origem (0, 0), já que os dois projéteis são lançados juntos, do mesmo ponto e no mesmo instante. Calculando com dois pontos quaisquer:

m = Δh/Δt = (4 − 2)/(2 − 1) = 2

Logo, a lei atual de B é h_B(t) = 2t. Em t = 4 s, essa reta fornece h_B(4) = 2 × 4 = 8 m — metade da altura necessária.

Subpasso 4.3 — Calcular o novo coeficiente angular necessário

Para que B intercepte A, é preciso que h_B(4) = 16 m. Como o ponto de partida continua sendo (0, 0) — mesmo lançamento —, a nova reta deve satisfazer:

m' × 4 = 16 ⟹ m' = 16 ÷ 4 = 4

Um caminho alternativo, mais direto, é pensar em termos de variação: a diferença de altura que falta em t = 4 s é Δh = 16 − 8 = 8 m; como Δh = Δm × t (partindo da origem), então Δm = Δh/t = 8/4 = 2. Os dois caminhos confirmam o mesmo resultado.

Subpasso 4.4 — Comparar o coeficiente novo com o atual (verificação)

Δm = m' − m = 4 − 2 = 2

O coeficiente angular de B deve aumentar em 2 unidades, passando de 2 para 4. Conferindo: com h_B(t) = 4t, em t = 4 s temos h_B(4) = 16 m — exatamente a altura máxima de A, no exato instante em que ela ocorre. A interceptação é garantida. Isso corresponde à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) diminuir em 2 unidades.

❌ Incorreta: inverte o sentido da correção. B já está abaixo da meta (8 m contra os 16 m necessários em t = 4 s), então seu coeficiente precisa crescer, não diminuir. Reduzir a inclinação (m = 0) tornaria B uma reta horizontal, afastando-a ainda mais do encontro.

B) diminuir em 4 unidades.

❌ Incorreta: além de inverter o sentido da variação, usa um valor de módulo errado. Diminuir 4 levaria o coeficiente a m = −2, fazendo B descer com o tempo — o projétil se afastaria da altura de A em vez de se aproximar.

C) aumentar em 2 unidades.

✅ Correta: o coeficiente angular precisa passar de 2 para 4 (m' = 16/4 = 4), o que representa um aumento de 4 − 2 = 2 unidades. Com essa correção, h_B(4) = 4 × 4 = 16 m, coincidindo exatamente com a altura máxima de A no instante t = 4 s.

D) aumentar em 4 unidades.

❌ Incorreta: essa alternativa nasce de um erro sutil e muito comum — confundir o valor final do novo coeficiente angular (m' = 4) com a variação pedida pela questão. Como o coeficiente original já era 2, o aumento correto é 4 − 2 = 2, e não 4.

E) aumentar em 8 unidades.

❌ Incorreta: corresponde a usar a diferença de altura (Δh = 16 − 8 = 8 m) diretamente como se fosse a variação do coeficiente angular, esquecendo de dividi-la pelo tempo (Δm = Δh/t = 8/4 = 2). Ignorar essa divisão gera um valor oito vezes maior que o correto.

🏆 Gabarito: C — o coeficiente angular de B deve subir de 2 para 4, um aumento de 2 unidades, para que sua altura em t = 4 s coincida com os 16 m de altura máxima de A.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa C respeita simultaneamente o instante correto (t = 4 s, vértice de A) e a diferença correta entre o coeficiente angular novo e o antigo (4 − 2 = 2).
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar dois tipos de função no mesmo gráfico (uma quadrática e uma afim) e pedir que o candidato leia coordenadas diretamente dos eixos, sem fornecer as leis algébricas prontas — a leitura gráfica cuidadosa é parte da prova.
• Generalização: sempre que a questão pedir uma "variação" de coeficiente, parâmetro ou taxa, calcule primeiro o valor final necessário e só depois subtraia o valor inicial (Δ = final − inicial); nunca responda com o valor final isolado.
• Dica de eliminação rápida: identifique o sinal da variação primeiro (B precisa subir mais rápido, logo é "aumentar" — descarta A e B em segundos) e depois confira se o número bate com Δm = Δh/Δt no instante do encontro, não com Δh isolado.
• Conexões: temas irmãos são "sistemas de equações do 1º grau" (para achar o ponto de encontro de duas retas) e "estudo do vértice da parábola" (x_v = −b/2a, y_v = −Δ/4a), ambos recorrentes em questões de cinemática gráfica no ENEM.