Questão 145 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Porcentagem, proporcionalidade e inequações do 1º grau
• ⚡ Nível: Difícil — a armadilha está em perceber que o total de funcionários MUDA à medida que a empresa contrata, transformando a "meta de 5%" em um alvo móvel.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de problemas com porcentagens sobre um total variável, aplicada à interpretação de um texto legal (Matemática e suas Tecnologias)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos funcionários PCD/reabilitados, no mínimo, a empresa precisa contratar para que, depois da contratação, esses funcionários correspondam a pelo menos 5% do NOVO total de empregados?"
• Palavras-chave decisivas: "contratará apenas empregados que atendem ao perfil", "1 200 funcionários", "10 são reabilitados"
• Armadilha típica: calcular 5% de 1200 (= 60) e usar isso direto como resposta, ou subtrair os 10 já existentes chegando a 50 — ambos os caminhos ignoram que os próprios contratados aumentam o total de funcionários sobre o qual o percentual incide.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar uma inequação em que a incógnita aparece tanto na contagem de PCD quanto no total de funcionários, resolvê-la corretamente e arredondar o resultado para o menor inteiro que satisfaça a condição.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Porcentagem como razão: "p% de um total N" significa a fração (p/100) × N; a lei exige que PCD/N ≥ 0,05 (piso da faixa "1 001 em diante").
• Denominador variável: quando o numerador e o denominador de uma razão crescem ao mesmo tempo — aqui, cada PCD contratado aumenta tanto a contagem de PCD quanto o total —, não se pode aplicar o percentual sobre o valor antigo do total.
• Inequação do 1º grau: transformar a exigência legal ("no mínimo 5%") em uma desigualdade algébrica com uma incógnita e isolá-la.
• Arredondamento em contexto discreto: como o número de contratações é inteiro e a condição é "≥" (mínimo), o resultado da inequação deve ser arredondado para CIMA, nunca para o inteiro mais próximo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "IV. de 1 001 em diante ……. 5%" → com 1200 funcionários, a empresa já está na faixa que exige 5%; como qualquer contratação só aumenta o total, ela permanece nessa faixa do início ao fim do processo.
• Evidência 2: "10 são reabilitados ou com deficiência, habilitados" → esse número não é descartado: os 10 já contam para a cota, então os novos contratados (x) se somam a eles, não os substituem.
• Evidência 3: "a empresa contratará apenas empregados que atendem ao perfil indicado no artigo 93" → cada novo contratado é PCD/reabilitado; logo, o número de funcionários FORA desse perfil permanece fixo em 1200 − 10 = 1190 durante toda a contratação.
• Síntese: o problema pede o menor x inteiro tal que, após x contratações, (10 + x) represente pelo menos 5% de (1200 + x).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando a inequação com N = total final de funcionários

Chame de N o total de funcionários depois das contratações. Como só serão contratados PCD/reabilitados, a quantidade de funcionários "fora do perfil" não muda: continua sendo 1200 − 10 = 1190. Logo, o número de PCD no total final é:

PCD final = N − 1190

A lei exige que esse número seja pelo menos 5% de N:

N − 1190 ≥ 0,05 × N

Subpasso 4.2 — Isolando N

N − 0,05N ≥ 1190

0,95 × N ≥ 1190

N ≥ 1190 ÷ 0,95

N ≥ 1252,63...

Como N tem de ser um número inteiro de funcionários e a desigualdade é "≥", arredonda-se para CIMA: N mínimo = 1253.

Subpasso 4.3 — Verificação e cálculo de x

O número de contratações é x = N − 1200 = 1253 − 1200 = 53.

Conferindo com x = 53: total = 1253, PCD = 10 + 53 = 63. 63 ÷ 1253 ≈ 0,0503 = 5,03% ≥ 5% ✓ (atende à lei).

Testando x = 52 (uma contratação a menos): total = 1252, PCD = 62. 62 ÷ 1252 ≈ 0,0495 = 4,95% < 5% ✗ (não atende).

Isso confirma que 53 é, de fato, o menor número inteiro de contratações que satisfaz o artigo 93 — nenhum valor menor funciona.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 74.

❌ Incorreta: resulta de um duplo erro. Primeiro monta-se a equação sem incluir os 10 funcionários já habilitados no numerador — resolvendo x/(1200+x) = 0,05 em vez de (10+x)/(1200+x) ≥ 0,05 —, o que já é um erro conceitual, pois ignora que os 10 existentes contam para a cota; isso dá x ≈ 63,2 → 64. Em seguida, soma-se novamente os 10 já existentes, como se precisassem ser contratados de novo (64 + 10 = 74).

B) 70.

❌ Incorreta: parte do cálculo simplificado 5% × 1200 = 60 (que já ignora o crescimento do total provocado pelas próprias contratações) e depois soma indevidamente os 10 funcionários que já são PCD, tratando-os como uma exigência adicional em vez de parte da cota já cumprida (60 + 10 = 70).

C) 64.

❌ Incorreta: reconhece corretamente que o total de funcionários cresce com as contratações, mas esquece de incluir os 10 PCD já existentes no numerador da fração, resolvendo x/(1200+x) ≥ 0,05 em vez de (10+x)/(1200+x) ≥ 0,05. Isso leva a x ≈ 63,16, arredondado para 64 — valor maior que o necessário, pois desconsidera que parte da cota já está cumprida pelos 10 funcionários atuais.

D) 60.

❌ Incorreta: é o erro mais "intuitivo" — aplicar 5% diretamente sobre o quadro atual de 1200 funcionários (0,05 × 1200 = 60) e tratar esse valor como resposta final, sem subtrair os 10 já habilitados e, principalmente, sem perceber que os próprios contratados aumentam o total sobre o qual o percentual incide.

E) 53.

✅ Correta: é o único valor que, somado aos 10 funcionários PCD já existentes e comparado ao novo total (1200 + 53 = 1253), garante uma fração de PCD ≥ 5% (63/1253 ≈ 5,03%), sendo simultaneamente o menor inteiro que cumpre essa condição — exatamente o que a lei e o comando da questão exigem ao pedir o "número mínimo".

🏆 Gabarito: E — porque 53 é o menor número inteiro de contratações que, somado aos 10 funcionários PCD já existentes, faz a proporção de PCD atingir pelo menos 5% do novo total de 1253 funcionários, cumprindo integralmente o artigo 93 da Lei nº 8.213/91.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: nenhum valor menor que 53 satisfaz PCD/total ≥ 5% — o teste com x = 52 falha (4,95%) —, e 53 é exatamente o menor inteiro que atende à condição, tornando E a única resposta compatível com "número mínimo".
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de problemas em que a porcentagem incide sobre um total que MUDA por causa da própria ação descrita na questão (contratações, diluições de solução, crescimento populacional); é o mesmo raciocínio de "quanto de água pura preciso adicionar para diluir uma solução a X%".
• Generalização: sempre que o enunciado disser que "só serão adicionados elementos de um tipo específico" a um total, defina o total final N como incógnita, mantenha fixa a contagem do que NÃO muda, escreva a quantidade variável como N menos essa parte fixa, monte a inequação com N e só ao final calcule quantos elementos foram efetivamente adicionados.
• Dica de eliminação rápida: se uma alternativa for exatamente o percentual aplicado direto sobre o valor original (aqui, 60), desconfie — é quase sempre a "armadilha ingênua" que ignora o efeito do denominador variável; o cálculo mais direto raramente é a resposta certa nesse tipo de questão.
• Conexões: problemas de mistura/diluição de soluções com concentração variável e problemas de razão entre parte e todo em um total que cresce usam exatamente a mesma estrutura algébrica: "fixo + variável sobre total variável".