Questão 143 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (áreas de figuras compostas) e Equações do 2º grau
• ⚡ Nível: Médio — exige decompor a figura irregular em dois triângulos retângulos antes de montar e resolver a equação
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de área de figura composta e resolução de equação quadrática em problema contextualizado (Grandezas e Medidas)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre comprimento e largura de um retângulo com a mesma área do terreno irregular (Figura B), sabendo que o comprimento é 7 m maior que a largura."
• Palavras-chave decisivas: áreas de mesma medida, comprimento 7 m maior que a largura, forma retangular
• Armadilha típica: calcular a área da Figura B como um único triângulo (½ × 15 × 21) ou como trapézio comum, ignorando que 21 m é hipotenusa de um triângulo diferente do formado pelos catetos 15 e 15.
• O que a resposta precisa demonstrar: decompor a figura irregular em partes conhecidas, somar as áreas corretamente e traduzir "comprimento = largura + 7" em equação do 2º grau.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do retângulo: A = comprimento × largura. Com largura x, comprimento x + 7, logo A = x(x + 7).
• Decomposição de figuras planas: um polígono irregular tem sua área calculada somando-se áreas de triângulos em que pode ser dividido por uma diagonal.
• Diagonal como hipotenusa comum: quando um quadrilátero tem dois ângulos retos em vértices opostos, a diagonal que os une é hipotenusa comum de dois triângulos retângulos independentes — é o caso da Figura B.
• Bhaskara: para ax² + bx + c = 0, x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Apenas a raiz positiva tem sentido físico.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (Figura A): lado vertical "x" (largura) e horizontal "x + 7" (comprimento), com quatro ângulos retos → a área do retângulo é x(x + 7).
• Evidência 2 (Figura B): ângulo reto no vértice inferior esquerdo (entre os lados de 15 m) e outro no vértice à direita (entre o lado de 3 m e o de 21 m) → a figura se divide pela diagonal que une o vértice superior esquerdo ao inferior direito, gerando dois triângulos retângulos com essa diagonal em comum.
• Síntese: somar as áreas dos dois triângulos da Figura B, igualar ao produto x(x + 7) e resolver a equação.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Os dois triângulos da Figura B

Vértices: A (topo), B (inferior esquerdo), C (inferior direito), D (fim do segmento de 3 m). Dados: AB = 15 m e BC = 15 m (ângulo reto em B); CD = 3 m e DA = 21 m (ângulo reto em D). Traçando a diagonal AC, formam-se dois triângulos retângulos com hipotenusa comum AC:

• Triângulo ABC: catetos 15 e 15;
• Triângulo ACD: catetos 3 e 21.

Verificação (Pitágoras): AC² = 15² + 15² = 450 e também AC² = 21² + 3² = 441 + 9 = 450. Os valores coincidem, confirmando que a decomposição está correta.

Subpasso 4.2 — Área do terreno irregular

Área(ABC) = (15 × 15) ÷ 2 = 112,5 m²

Área(ACD) = (21 × 3) ÷ 2 = 31,5 m²

Área total = 112,5 + 31,5 = 144 m²

Essa área deve ser igual à do retângulo, pois o pai quer terrenos "de mesma medida" para os dois filhos.

Subpasso 4.3 — Equação do retângulo

x(x + 7) = 144 → x² + 7x − 144 = 0

Δ = 7² − 4(1)(−144) = 49 + 576 = 625 → √Δ = 25

x = (−7 ± 25) ÷ 2 → x' = 9 e x'' = −16 (descartada)

Largura = x = 9 m e comprimento = x + 7 = 16 m.

Verificação: 9 × 16 = 144 m² (bate com a área da Figura B) e 16 − 9 = 7 (bate com a condição do enunciado). O par 9,0 e 16,0 só aparece na alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 7,5 e 14,5.

❌ Incorreta: diferença de 7 m é respeitada, mas 7,5 × 14,5 = 108,75 m² ≠ 144 m² — erro típico de calcular a área da Figura B com apenas um triângulo (½ × 15 × 21) ou de forma incompleta.

B) 9,0 e 16,0.

✅ Correta: 9 × 16 = 144 m², exatamente a soma das áreas dos dois triângulos retângulos da Figura B, e 16 − 9 = 7. É a raiz positiva de x² + 7x − 144 = 0.

C) 9,3 e 16,3.

❌ Incorreta: 9,3 × 16,3 = 151,59 m². É a armadilha de quem arredonda mal √625 (que é exatamente 25, não um valor aproximado).

D) 10,0 e 17,0.

❌ Incorreta: 10 × 17 = 170 m², compatível com erro no cálculo da área da Figura B (por exemplo, somar 15×15 e 21×3 sem dividir por 2 em apenas um dos termos).

E) 13,5 e 20,5.

❌ Incorreta: 13,5 × 20,5 = 276,75 m², quase o dobro de 144 — condiz com esquecer de dividir por 2 as duas áreas triangulares, dobrando o valor real.

🏆 Gabarito: B — a área da Figura B é 144 m² (soma de dois triângulos retângulos que compartilham a diagonal AC: 112,5 + 31,5); igualando a x(x+7) e resolvendo x² + 7x − 144 = 0, obtém-se x = 9 m e x + 7 = 16 m, valores exclusivos da alternativa B.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só o par 9,0 e 16,0 satisfaz ao mesmo tempo a diferença de 7 m e a área de 144 m² exigidas pelo problema.
• Padrão de cobrança: o ENEM combina geometria plana (decompor figuras irregulares) com álgebra (equações do 2º grau) em problemas contextualizados de terrenos e construções.
• Generalização: sempre que um quadrilátero tiver dois ângulos retos em vértices opostos, trace a diagonal entre eles — ela vira hipotenusa comum de dois triângulos retângulos, e a soma das áreas (½ × produto dos catetos) resolve a figura toda.
• Dica de eliminação rápida: todas as alternativas respeitam a diferença de 7 m; basta multiplicar os dois valores de cada uma e ver qual produto dá 144 — isso elimina A, C, D e E em segundos.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em quadriláteros inscritíveis (ângulos opostos somando 180°) e em problemas de otimização de área com equações do 2º grau.