Questão 168 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Princípio Multiplicativo + Permutação com elementos repetidos)
• ⚡ Nível: Difícil — exige combinar três raciocínios distintos (contagem com repetição, distinção maiúscula/minúscula e arranjo de posições) sem confundi-los.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de senhas com restrições de composição — Competência de resolver situações-problema com raciocínio combinatório (H29/H30 da matriz do ENEM).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule quantas senhas diferentes de 4 caracteres existem, sendo 2 algarismos e 2 letras (com distinção entre maiúscula e minúscula), podendo essas letras e algarismos ocupar qualquer uma das 4 posições."
• Palavras-chave decisivas: dois algarismos e duas letras, maiúscula difere da minúscula, qualquer posição
• Armadilha típica: esquecer que uma letra maiúscula e sua minúscula são senhas diferentes (usar 26 em vez de 52) ou esquecer que os 4 caracteres podem se organizar em várias ordens diferentes dentro da senha (tratar a posição como fixa).
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio simultâneo do Princípio Fundamental da Contagem (para escolher os algarismos e as letras) e da permutação com elementos repetidos (para distribuir esses caracteres nas 4 posições da senha).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem (PFC): escolhas independentes se multiplicam. Usado aqui para combinar "conteúdo dos algarismos", "conteúdo das letras" e "padrão de posições".
• Contagem com repetição permitida: como o enunciado não exige caracteres distintos, cada posição é preenchida com o total de opções da categoria (10 algarismos, 52 letras) — por isso surgem potências (10², 52²), e não fatoriais decrescentes como em arranjos sem repetição.
• Permutação com elementos repetidos (anagramas): para distribuir 4 posições entre 2 grupos "iguais entre si" (2 algarismos, 2 letras), usa-se P₄^(2,2) = 4!/(2!·2!) — a mesma lógica de anagramas de palavras com letras repetidas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras" → define a composição fixa da senha: 2 posições virão de {0,1,...,9} e 2 posições virão do alfabeto, mas não fixa quais das 4 posições são quais.
• Evidência 2: "uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha" → cada uma das 26 letras conta em dobro (versão maiúscula e versão minúscula), totalizando 52 caracteres-letra possíveis para cada posição de letra.
• Evidência 3: "as letras e os algarismos podem estar em qualquer posição" → é o sinal explícito de que existem várias formas de organizar os 2 algarismos e as 2 letras dentro dos 4 espaços da senha; essa organização precisa ser contada à parte, com uma permutação.
• Síntese: o problema tem uma estrutura em duas camadas — (i) quantos algarismos/letras diferentes podem ocupar cada posição do seu tipo, e (ii) de quantas formas distintas o padrão "2 algarismos + 2 letras" pode se distribuir nas 4 posições da senha. As duas camadas se multiplicam pelo PFC.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contando as opções de algarismo

O enunciado não exige algarismos distintos, então cada uma das 2 posições reservadas a algarismos pode ser preenchida, de forma independente, com qualquer um dos 10 algarismos (0 a 9). Pelo PFC: 10 × 10 = 10².

Subpasso 4.2 — Contando as opções de letra

O alfabeto tem 26 letras, mas maiúscula e minúscula geram senhas diferentes. Logo cada posição de letra tem, na prática, 26 × 2 = 52 opções (A, a, B, b, C, c, ...). Com 2 posições de letra, também sem exigência de serem distintas: 52 × 52 = 52².

Subpasso 4.3 — Contando as formas de organizar os 4 caracteres na senha

Falta decidir quais das 4 posições da senha são de algarismo e quais são de letra. É equivalente a formar uma sequência de 4 símbolos, sendo 2 do tipo "A" e 2 do tipo "L" (AALL, ALAL, ALLA, LAAL, LALA, LLAA) — uma permutação com repetição:

P₄^(2,2) = 4! / (2! · 2!) = 24 / 4 = 6 padrões distintos.

Subpasso 4.4 — Verificação (Princípio Multiplicativo final)

As três escolhas são independentes (quais algarismos, quais letras com caixa, e qual padrão de posições), então se multiplicam:

Total = 10² × 52² × 4!/(2!·2!) = 100 × 2 704 × 6 = 1 622 400 senhas possíveis — expressão que bate exatamente com a estrutura de uma das alternativas.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 10² · 26²

❌ Incorreta: usa 26² para as letras, ignorando que maiúscula e minúscula são caracteres diferentes (deveria ser 52²), e além disso não multiplica pelo fator de permutação das posições — como se houvesse só uma forma de distribuir os 2 algarismos e as 2 letras nos 4 espaços.

B) 10² · 52²

❌ Incorreta: corrige o erro da letra A (usa corretamente 52² para as letras com distinção de caixa), mas ainda esquece completamente o fator de arranjo das posições, tratando a senha como se tivesse uma única ordem fixa (por exemplo, sempre "algarismo-algarismo-letra-letra"), quando na verdade existem 6 padrões possíveis de distribuição.

C) 10² · 52² · 4!/2!

❌ Incorreta: já inclui um fator de permutação, mas divide apenas por 2! (correção para um único par de elementos repetidos), quando são dois pares repetidos simultaneamente — os 2 algarismos entre si e as 2 letras entre si. O divisor correto precisa ser 2! · 2!, não apenas 2!; usar só 2! dobra indevidamente a contagem de padrões (dá 12 em vez dos 6 corretos).

D) 10² · 26² · 4!/(2!·2!)

❌ Incorreta: acerta o fator de permutação das posições (4!/(2!·2!) = 6), mas volta a errar nas letras, usando 26² em vez de 52² — ou seja, ignora a instrução do enunciado de que maiúscula e minúscula geram senhas distintas, subestimando o total de letras possíveis em 4 vezes.

E) 10² · 52² · 4!/(2!·2!)

✅ Correta: reúne corretamente os três fatores necessários — 10² para as opções de algarismo (com repetição permitida), 52² para as opções de letra (respeitando a distinção maiúscula/minúscula) e 4!/(2!·2!) para o número de padrões distintos em que os 2 algarismos e as 2 letras podem ocupar as 4 posições da senha.

🏆 Gabarito: E — é a única alternativa que combina corretamente as 52 opções por letra (por causa da distinção de caixa) com o fator 4!/(2!·2!), que conta as diferentes formas de distribuir 2 algarismos e 2 letras nas 4 posições da senha.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E preserva, ao mesmo tempo, a contagem correta de letras (52, por causa da caixa) e o fator de permutação das posições (4!/(2!·2!) = 6); todas as demais erram em pelo menos um desses dois pontos.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora misturar, na mesma questão, "escolha de conteúdo" (quantos valores cada posição pode assumir) com "escolha de posição" (de quantas formas os grupos podem se organizar) — é um combo clássico de PFC + permutação com repetição, recorrente em questões de senha, placas de carro e códigos.
• Generalização: sempre que um "código" tiver posições de tipos diferentes (por exemplo, x posições de um tipo e y de outro) e o enunciado disser que as posições "podem estar em qualquer lugar", o total é: (opções do tipo 1)^x × (opções do tipo 2)^y × [(x+y)! / (x! · y!)].
• Dica de eliminação rápida: primeiro cheque o expoente das letras — se a alternativa usa 26 em vez de 52, ela ignora a distinção de caixa e já pode ser descartada (isso elimina A e D); depois cheque se existe um fator de arranjo das posições e se ele está corretamente dividido por 2! · 2! (isso elimina B, que não tem fator nenhum, e C, que divide só por 2!).
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões sobre placas de carro (letras + números em ordens fixas ou livres) e em problemas de anagramas com letras repetidas, onde se usa a mesma fórmula P_n^(n1,n2,...) = n!/(n1!·n2!·...).