Questão 173 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções periódicas e leitura/interpretação de gráficos
• ⚡ Nível: Difícil — exige ler um gráfico com duas curvas periódicas, aplicar uma condição composta ("iguais" e "acima do mínimo") e generalizar o padrão diário para uma semana inteira, o que abre espaço para vários erros de contagem
• 🎯 Tema/Habilidade: Interpretação de gráficos de funções periódicas e extrapolação de padrões cíclicos (competência de área 5 — Matemática ENEM)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Em uma semana (7 dias), quantas vezes o nível de A é igual ao nível de B, sendo esse nível comum estritamente maior que o valor mínimo de A?"
• Palavras-chave decisivas: iguais, maiores que o nível mínimo, dieta semanal
• Armadilha típica: contar todos os pontos em que as curvas se tocam — inclusive os que coincidem exatamente com o mínimo de A — e multiplicar por 7, inflando o resultado; ou, ao contrário, contar certo dentro de um dia e esquecer de multiplicar pela semana.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar corretamente, dentro do intervalo de 24 h mostrado, apenas as interseções que satisfazem simultaneamente as duas exigências do enunciado, e então projetar esse número para os 7 dias da dieta.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função periódica: função cujo gráfico se repete identicamente em intervalos regulares (o período). O enunciado garante isso ao dizer que "o padrão... se repita para os dias subsequentes".
• Interseção de gráficos: os instantes em que duas curvas têm a mesma ordenada correspondem às soluções de A(t) = B(t) — no gráfico, os pontos onde as duas linhas se tocam.
• Condição composta (E): quando o enunciado une duas exigências com "e"/"porém", só conta o que cumpre as duas ao mesmo tempo: ser ponto de igualdade E estar estritamente acima do nível mínimo de A.
• Extrapolação de padrões periódicos: se um evento ocorre k vezes dentro de um período P, e esse período se repete n vezes exatas no intervalo total analisado, o total de ocorrências é k × n.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o número de vezes em que os níveis de A e de B forem iguais" → mandam contar os pontos de interseção entre as curvas A(t) e B(t) no gráfico.
• Evidência 2: "porém, maiores que o nível mínimo da substância A" → o "porém" sinaliza uma restrição: descarta-se toda interseção que coincida exatamente com o valor mínimo de A.
• Evidência 3: "dieta semanal" + "o padrão apresentado... se repita para os dias subsequentes" → o gráfico mostra só 24 h, mas a pergunta é sobre 7 dias (168 h), repetindo esse mesmo padrão dia após dia.
• Síntese: o caminho é (1) localizar, nas 24 h do gráfico, todos os pontos A = B; (2) eliminar os que caem exatamente sobre o nível mínimo de A; (3) multiplicar o que sobrar por 7.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificando o nível mínimo de A no gráfico

No gráfico, a curva de A (mais grossa) desenha dois "vales" dentro das 24 h, e ambos tocam exatamente a reta tracejada horizontal desenhada no gráfico. Essa reta tracejada representa, portanto, o nível mínimo de A. Qualquer ponto em que A e B se cruzem exatamente sobre essa reta corresponde a um nível igual ao mínimo — e deve ser descartado, pois o nutricionista exige nível estritamente maior que o mínimo.

Subpasso 4.2 — Contando as interseções dentro de 24 horas

Percorrendo o gráfico da esquerda (t = 0) para a direita (t = 24):

1. No início, B sobe enquanto A desce a partir do seu valor inicial; as duas se cruzam em um ponto acima da reta tracejada → interseção válida (1ª).
2. Pouco depois, A atinge seu primeiro vale, tocando a reta tracejada no mesmo instante em que B também a cruza → cruzamento sobre o mínimo → descartado.
3. Na parte central, A sobe até seu pico mais alto enquanto B sobe até seu segundo pico; quando A começa a descer e B ainda sobe, elas se cruzam de novo acima da reta tracejada → interseção válida (2ª).
4. A seguir, A atinge seu segundo vale, tocando de novo a reta tracejada onde B também a cruza → cruzamento sobre o mínimo → descartado.
5. Do segundo vale até t = 24 h, A sobe rápido de volta ao seu valor inicial enquanto B segue bem abaixo da reta tracejada: não há mais cruzamentos nesse trecho.

Conclusão do dia: existem 4 pontos de igualdade A = B em 24 h, mas apenas 2 deles satisfazem "nível maior que o mínimo de A".

Subpasso 4.3 — Verificação e extrapolação para a semana

Como o padrão de 24 h se repete identicamente a cada novo dia, cada dia contribui com exatamente 2 interseções válidas, sem sobreposição entre um dia e o seguinte. Uma semana tem 7 dias, logo:

2 interseções válidas/dia × 7 dias = 14

Esse valor bate com a alternativa E: o segredo era contar certo dentro de um período (2, não 4) e multiplicar corretamente pelo número de repetições (7 dias, não apenas 1).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 28.

❌ Incorreta: surge se o candidato contar as 4 interseções por dia (incluindo as duas que coincidem com o mínimo de A) e multiplicar por 7 (4 × 7 = 28). Ignora a restrição "maiores que o nível mínimo", que elimina metade dos cruzamentos.

B) 21.

❌ Incorreta: corresponde a uma contagem equivocada de 3 interseções por dia multiplicada por 7 (3 × 7 = 21). O gráfico não sustenta 3 cruzamentos válidos por período de 24 h — o número correto é 2.

C) 2.

❌ Incorreta: é o número certo de interseções válidas, mas apenas para um único dia. Quem marca essa alternativa leu o gráfico corretamente, porém esqueceu de generalizar o resultado para a semana inteira, como pede o enunciado.

D) 7.

❌ Incorreta: resulta de supor, erradamente, que existe apenas uma interseção válida por dia e multiplicar por 7 (1 × 7 = 7). Ignora que o gráfico mostra duas interseções acima do mínimo de A a cada 24 h, não uma só.

E) 14.

✅ Correta: produto correto das 2 interseções válidas (nível de A = nível de B, ambos acima do mínimo de A) que ocorrem a cada 24 h pelos 7 dias da semana: 2 × 7 = 14.

🏆 Gabarito: E — em cada dia de 24 h ocorrem exatamente 2 momentos em que o nível de A iguala o de B acima do mínimo de A; como o padrão se repete por 7 dias, o parâmetro semanal vale 2 × 7 = 14.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E respeita, ao mesmo tempo, as duas condições do enunciado (igualdade de níveis e valor acima do mínimo) aplicadas ao intervalo semanal de 7 × 24 h.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência gráficos de fenômenos cíclicos (marés, batimentos cardíacos, concentração de substâncias, ritmo circadiano), pedindo que o aluno extrapole, para um intervalo maior, um padrão mostrado em apenas um período.
• Generalização: se um evento ocorre k vezes num período P que se repete n vezes exatas no intervalo total pedido, o total de ocorrências é k × n — desde que o intervalo total seja múltiplo inteiro do período (aqui, 168 h = 7 × 24 h).
• Dica de eliminação rápida: quando o enunciado tem duas condições ligadas por "e"/"porém", desconfie de alternativas que ignoram uma delas. 28 ignora a restrição do mínimo; 2 e 7 ignoram a extrapolação para a semana — só 14 atende às duas exigências.
• Conexões: funções trigonométricas usadas para modelar fenômenos periódicos e problemas de contagem aplicados à interpretação de gráficos.