Questão 150 — ENEM 2016Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Grandezas diretamente e inversamente proporcionais (proporcionalidade composta)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar duas relações de proporcionalidade distintas (espessura × distância e custo × volume) antes de isolar a constante numérica.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos físicos por meio de grandezas proporcionais — habilidade de traduzir um texto em linguagem matemática (álgebra) e calibrar uma constante de proporcionalidade a partir de um caso particular.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Monte uma fórmula geral C(A, D) que calcule o custo do isolamento acústico para qualquer área A e qualquer distância D, usando o caso conhecido (A = 9 m², D = 3 m, custo R$ 500,00) para calibrar a constante."
• Palavras-chave decisivas: inversamente proporcional ao quadrado da distância, diretamente proporcional ao volume, custo é de R$ 500,00
• Armadilha típica: confundir a proporcionalidade da espessura (inversa ao quadrado da distância) com a proporcionalidade do custo (direta ao volume), e aplicar o quadrado da distância diretamente sobre o custo sem passar pelo volume — ou esquecer de multiplicar a espessura pela área para obter o volume.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de encadear duas relações de proporcionalidade (espessura-distância e custo-volume), calcular a constante de proporcionalidade única a partir dos dados numéricos fornecidos, e generalizar a expressão para A e D quaisquer.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Grandeza diretamente proporcional: duas grandezas x e y são diretamente proporcionais quando y = k·x, ou seja, crescem e decrescem na mesma razão (k constante).
• Grandeza inversamente proporcional: x e y são inversamente proporcionais quando y = k/x (ou y = k/x²), isto é, uma cresce enquanto a outra diminui, mantendo o produto (ou o produto pela potência) constante.
• Volume de uma camada de revestimento: quando um material reveste uma parede de área A com espessura e (uniforme e pequena em relação às dimensões da parede), o volume do material é aproximadamente V = A · e (área da base vezes altura da "placa").
• Constante de proporcionalidade composta: ao encadear duas relações de proporcionalidade, o resultado final é uma única constante K que multiplica a combinação das variáveis independentes — ela é determinada substituindo um conjunto de valores conhecidos na expressão geral.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a espessura do material que reveste a parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte sonora" → define a espessura e como e = k₁ / D², onde k₁ é uma constante (a espessura não depende da área da parede, apenas da distância D).
• Evidência 2: "o custo é diretamente proporcional ao volume do material do revestimento" → define o custo C como C = k₂ · V, onde V é o volume total de material usado e k₂ é outra constante.
• Evidência 3: "se a fonte sonora estiver a 3 m do plano da parede [de área 9 m²], o custo é de R$ 500,00" → fornece o único par de valores numéricos (A = 9, D = 3, C = 500) necessário para calcular a constante final da fórmula geral.
• Síntese: é preciso unir as evidências 1 e 2 numa única expressão C(A, D), substituir V = A·e = A·k₁/D², reduzir k₁·k₂ a uma constante única K, e então usar a evidência 3 para determinar o valor numérico de K.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir a espessura em função da distância

Como a espessura e é inversamente proporcional ao quadrado da distância D, escrevemos:

e = k₁ / D²

onde k₁ é uma constante positiva ainda desconhecida.

Subpasso 4.2 — Expressar o volume do revestimento

O material reveste toda a parede de área A com espessura uniforme e. O volume de uma "placa" desse tipo é o produto da área pela espessura:

V = A · e = A · (k₁ / D²) = (k₁ · A) / D²

Subpasso 4.3 — Traduzir o custo em função do volume

O custo C é diretamente proporcional ao volume V:

C = k₂ · V = k₂ · (k₁ · A) / D²

Como k₁ e k₂ são ambas constantes fixas (não dependem de A nem de D), o produto k₁ · k₂ pode ser substituído por uma única constante K:

C = K · A / D²

Essa já é a "forma" geral pedida pela questão — falta apenas determinar o valor numérico de K.

Subpasso 4.4 — Calibrar a constante K com os dados do problema

O enunciado informa que, para A = 9 m² e D = 3 m, o custo é C = R$ 500,00. Substituindo na expressão obtida:

500 = K · 9 / 3²

500 = K · 9 / 9

500 = K · 1

K = 500

Subpasso 4.5 — Escrever a fórmula geral

Substituindo K = 500 de volta em C = K · A / D², obtemos a expressão que fornece o custo para revestir qualquer parede de área A, situada a D metros da fonte sonora:

C = 500 · A / D²

Subpasso 4.6 — Verificação

Testando a fórmula com os próprios dados do enunciado (A = 9, D = 3):

C = 500 · 9 / 3² = 4500 / 9 = 500 ✓

O resultado bate exatamente com o valor informado (R$ 500,00), confirmando que a expressão C = 500A/D² é consistente e coincide com a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) (500 · 81) / (A · D²)

❌ Incorreta: coloca A no denominador, invertendo a relação — o custo é diretamente proporcional ao volume (que cresce com A), não inversamente proporcional à área. O número 81 (= 9²) também não tem origem em nenhuma das duas proporcionalidades descritas no texto.

B) (500 · A) / D²

✅ Correta: é exatamente a expressão deduzida no Passo 4 — C = 500A/D², obtida ao combinar e = k₁/D² (espessura inversamente proporcional ao quadrado da distância), V = A·e (volume proporcional à área) e C = k₂·V (custo diretamente proporcional ao volume), calibrada com A = 9, D = 3 e C = 500.

C) (500 · D²) / A

❌ Incorreta: inverte as duas proporcionalidades ao mesmo tempo — D² no numerador (como se o custo crescesse com a distância) e A no denominador (como se diminuísse com a área da parede), contrariando o texto em ambos os pontos.

D) (500 · A · D²) / 81

❌ Incorreta: coloca D² multiplicando no numerador, tratando a distância como diretamente proporcional ao custo, quando o correto é o inverso do seu quadrado no denominador. O "81" isolado no denominador não corresponde a nenhuma etapa válida do cálculo da constante.

E) (500 · 3 · D²) / A

❌ Incorreta: mistura um valor particular do enunciado (o "3", distância usada só para calibrar a constante) dentro da fórmula geral — inconsistente, pois a fórmula final deve depender apenas de A e D, já com K = 500 calculado. Repete ainda o erro de colocar D² no numerador e A no denominador.

🏆 Gabarito: B — a expressão C = 500A/D² é a única que respeita simultaneamente as duas proporcionalidades do enunciado (espessura inversamente proporcional a D², custo diretamente proporcional ao volume A·e) e reproduz corretamente o valor numérico dado (R$ 500,00 para A = 9 m² e D = 3 m).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra B é a única alternativa em que a área A aparece no numerador (proporcional ao custo) e o quadrado da distância D² aparece no denominador (inversamente proporcional ao custo), com a constante correta K = 500 calculada a partir dos dados do enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente propõe problemas de "proporcionalidade em cascata", em que uma grandeza intermediária (aqui, a espessura, e depois o volume) conecta duas relações de proporcionalidade diferentes; o candidato precisa montar a cadeia de dependências antes de calcular a constante final.
• Generalização: sempre que o texto disser "y é diretamente proporcional a x" escreva y = k·x, e sempre que disser "inversamente proporcional a x" (ou "ao quadrado de x") escreva y = k/x (ou k/x²); depois substitua um conjunto completo de valores conhecidos para encontrar k, e só então escreva a fórmula geral.
• Dica de eliminação rápida: basta checar o sinal das potências — como o custo cresce com a área (mais parede, mais material, mais gasto) e diminui com a distância ao quadrado (mais longe, camada mais fina), a resposta correta deve ter A no numerador e D² no denominador; isso elimina de cara as alternativas A, C, D e E, restando apenas a B.
• Conexões: este tipo de problema se conecta a "regra de três composta" e a "grandezas proporcionais em Física" (como a Lei do Inverso do Quadrado da intensidade sonora ou luminosa), temas que também aparecem combinados em questões de Física e Química do ENEM.