Questão 180 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções Trigonométricas (função cosseno aplicada a um contexto real)
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir "produção máxima" em "preço mínimo" e localizar corretamente o ponto de mínimo de uma função cosseno em um domínio restrito de inteiros
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos periódicos por meio de função trigonométrica; interpretar e resolver problema que envolve variação de grandezas expressas por funções
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Em qual mês x (de 1 a 12) o preço P(x) atinge seu valor mínimo, já que preço mínimo corresponde a produção/oferta máxima?"
• Palavras-chave decisivas: produção máxima, escassa/preços elevados, abundante/preços mais baixos
• Armadilha típica: procurar o mês de PREÇO MÁXIMO (x = 1, janeiro) em vez do preço mínimo, confundindo "produção máxima" com "valor máximo da função"
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de interpretar a relação inversa entre oferta e preço descrita no texto e aplicar corretamente a condição de mínimo de uma função cosseno

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função cosseno P(x) = a + b·cos(cx + d): oscila entre os valores a − b (mínimo) e a + b (máximo), sendo a o valor médio e b a amplitude
• Condição de mínimo do cosseno: cos(θ) = −1 exatamente quando θ = π + 2kπ, k inteiro
• Lei da oferta aplicada ao enunciado: produto abundante no mercado (safra em produção máxima) → preço cai; produto escasso → preço sobe. Logo, produção máxima ⇔ preço mínimo
• Domínio discreto: x assume apenas valores inteiros de 1 a 12 (um mês por unidade), então basta testar em qual desses inteiros o argumento do cosseno vale π

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos" → estabelece explicitamente a relação inversa: preço baixo = disponibilidade/produção alta
• Evidência 2: "o que ocorre no mês de produção máxima da safra" (associado à fase de preços mais baixos) → confirma que "mês de produção máxima" é, matematicamente, o mês de preço mínimo
• Evidência 3 (da figura): P(x) = 8 + 5cos((πx − π)/6) → função cosseno com valor médio 8 e amplitude 5, cujo argumento pode ser reescrito como π(x − 1)/6
• Síntese: o problema se reduz a encontrar o inteiro x ∈ {1, 2, ..., 12} que minimiza P(x), isto é, que torna cos(π(x − 1)/6) = −1

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Reescrever a função em forma padrão

P(x) = 8 + 5·cos((πx − π)/6) = 8 + 5·cos(π(x − 1)/6)

Aqui a = 8 (valor médio) e b = 5 (amplitude), logo P(x) varia no intervalo [8 − 5, 8 + 5] = [3, 13].

Subpasso 4.2 — Impor a condição de mínimo

Como buscamos o mês de produção máxima, queremos o menor valor possível de P(x), que ocorre quando cos(π(x − 1)/6) = −1. Isso acontece quando o argumento é igual a π (mais múltiplos de 2π):

π(x − 1)/6 = π + 2kπ

(x − 1)/6 = 1 + 2k

x − 1 = 6 + 12k

x = 7 + 12k

Para k = 0: x = 7 (dentro do domínio 1 ≤ x ≤ 12). Para k = −1: x = −5 (fora do domínio). Para k = 1: x = 19 (fora do domínio). Logo, x = 7 é a única solução válida no intervalo de um ano.

Subpasso 4.3 — Verificação

P(7) = 8 + 5·cos(π·6/6) = 8 + 5·cos(π) = 8 + 5·(−1) = 8 − 5 = 3

Esse é exatamente o valor mínimo possível da função (piso do intervalo [3, 13]), confirmando que x = 7 é ponto de mínimo global dentro do domínio.

Para comparação, o preço máximo ocorre em x = 1: P(1) = 8 + 5·cos(0) = 8 + 5 = 13 (mês de maior escassez). E testando os vizinhos de x = 7:

P(6) = 8 + 5·cos(5π/6) = 8 + 5·(−√3/2) ≈ 3,67

P(8) = 8 + 5·cos(7π/6) = 8 + 5·(−√3/2) ≈ 3,67

Ambos são maiores que P(7) = 3, confirmando que julho (x = 7) é, de fato, o mês de preço mínimo — logo, de produção máxima.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) janeiro.

❌ Incorreta: em x = 1, P(1) = 8 + 5cos(0) = 13, o maior valor possível da função — ou seja, o mês de maior escassez e maior preço, exatamente o oposto do que a questão pede. É a alternativa-armadilha para quem confunde "valor extremo da função" com "produção máxima" sem checar se é máximo ou mínimo.

B) abril.

❌ Incorreta: em x = 4, o argumento vale π(3)/6 = π/2, e cos(π/2) = 0, logo P(4) = 8 + 5(0) = 8 — apenas o valor médio da função, nem máximo nem mínimo. Em abril o preço está em plena fase de queda, passando pelo ponto de inflexão do ciclo, mas ainda não atingiu o piso.

C) junho.

❌ Incorreta: em x = 6, cos(5π/6) = −√3/2 ≈ −0,866, o que dá P(6) ≈ 3,67. O preço já está bem próximo do mínimo, tentando induzir quem resolve por estimativa visual a "arredondar" e marcar esse mês — mas o mínimo exato só ocorre quando cos = −1, o que não acontece em x = 6.

D) julho.

✅ Correta: em x = 7, o argumento do cosseno vale exatamente π, então cos(π) = −1, o mínimo absoluto da função cosseno, resultando em P(7) = 3, o menor preço do ciclo anual. Preço mínimo corresponde à maior abundância do produto, isto é, à produção máxima da safra.

E) outubro.

❌ Incorreta: em x = 10, o argumento vale π(9)/6 = 3π/2, e cos(3π/2) = 0, logo P(10) = 8 — novamente o valor médio da função, simétrico a abril, mas na fase ascendente do preço (produção já caindo rumo a nova escassez).

🏆 Gabarito: D — Julho é o único mês em que o argumento do cosseno atinge exatamente π, gerando o valor mínimo absoluto da função preço (P = 3), o que corresponde à máxima abundância/produção do produto sazonal.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como P(x) é uma função cosseno com amplitude 5 e valor médio 8, seu mínimo absoluto só ocorre quando cos(π(x − 1)/6) = −1; dentro do domínio x ∈ {1, ..., 12}, isso acontece exclusivamente em x = 7 (julho).
• Padrão de cobrança: o ENEM usa com frequência funções trigonométricas (seno/cosseno) para modelar fenômenos periódicos do cotidiano — maré, temperatura ao longo do ano, população, preço sazonal — sempre pedindo que se localizem pontos de máximo, de mínimo ou o período do fenômeno.
• Generalização: em qualquer função do tipo f(x) = a + b·cos(cx + d), o valor máximo é a + b (quando o cosseno vale 1) e o mínimo é a − b (quando o cosseno vale −1); basta igualar o argumento a 0 (ou 2kπ) para achar o máximo e a π (ou π + 2kπ) para achar o mínimo, e então isolar x.
• Dica de eliminação rápida: primeiro identifique se a pergunta quer o valor MÁXIMO ou MÍNIMO da função (aqui, "produção máxima" equivale a "preço mínimo" por causa da relação inversa oferta-preço); em seguida, descarte de imediato os valores de x em que o cosseno vale 0 (aqui, abril e outubro), pois esses nunca são pontos extremos — apenas passagens pelo valor médio.
• Conexões: funções periódicas aplicadas a fenômenos naturais (marés, ciclos populacionais, temperatura sazonal) e o estudo de amplitude, período e deslocamento vertical/horizontal de funções trigonométricas.