Questão 162 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Teoria dos Números (Máximo Divisor Comum aplicado a problemas de medição)
• ⚡ Nível: Médio — exige encontrar o MDC de três números e, na sequência, aplicar corretamente uma restrição extra (comprimento < 2 m) antes de somar as peças de cada grupo de tábuas.
• 🎯 Tema/Habilidade: MDC (Máximo Divisor Comum) aplicado a situações de fracionamento sem sobras — competência de resolver problemas com números naturais em contextos do cotidiano.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Corte três grupos de tábuas em pedaços iguais, sem sobra, com o maior comprimento possível, desde que esse comprimento seja menor que 200 cm — quantas peças, ao todo, serão produzidas?"
• Palavras-chave decisivas: mesmo comprimento, sem deixar sobras, maior tamanho possível, menor que 2 m
• Armadilha típica: calcular apenas o Máximo Divisor Comum "puro" das três medidas (270 cm) e parar por aí, ignorando que 270 cm ultrapassa o limite de 2 m imposto no enunciado.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe (1) calcular o MDC de três valores, (2) reconhecer que a peça só pode ter um comprimento que seja divisor comum das três medidas e (3) aplicar uma restrição adicional (< 200 cm) sobre esse divisor antes de contar as peças finais.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Máximo Divisor Comum (MDC): o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. É a ferramenta certa sempre que o problema pede para "dividir em partes iguais, sem sobra, com o maior tamanho possível".
• Fatoração em números primos: decompor cada medida em fatores primos permite calcular o MDC multiplicando os fatores comuns elevados ao menor expoente em que aparecem.
• Divisores de um número: todo divisor comum das tábuas precisa, necessariamente, ser um divisor do MDC — por isso, quando o MDC "puro" desrespeita uma condição extra (aqui, < 2 m), a resposta certa está entre os divisores do MDC, não em qualquer outro número.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras" → o comprimento da peça deve ser um divisor comum de 540, 810 e 1080 (senão sobra madeira).
• Evidência 2: "de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível" → entre os divisores comuns possíveis, deve-se escolher o maior — a essência de um problema de MDC.
• Evidência 3: "mas de comprimento menor que 2 m" → restrição adicional que pode invalidar o MDC bruto; é preciso buscar, entre os divisores do MDC, o maior valor que seja estritamente menor que 200 cm.
• Síntese: o caminho é calcular o MDC(540, 810, 1080), verificar se ele respeita o limite de 200 cm; se não respeitar, buscar o maior divisor desse MDC que seja menor que 200 cm — esse será o comprimento da peça — e então multiplicar o número de peças de cada tábua pela quantidade de tábuas disponíveis.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Fatoração e cálculo do MDC(540, 810, 1080)

Decompondo cada medida em fatores primos:

• 540 = 2² × 3³ × 5
• 810 = 2¹ × 3⁴ × 5¹
• 1080 = 2³ × 3³ × 5¹

O MDC é o produto dos fatores comuns elevados ao menor expoente:

MDC = 2¹ × 3³ × 5¹ = 2 × 27 × 5 = 270 cm

Subpasso 4.2 — Aplicando a restrição "menor que 2 m"

270 cm ≥ 200 cm, portanto 270 cm não serve como comprimento da peça, mesmo sendo o maior divisor comum absoluto. Como qualquer comprimento válido precisa dividir 540, 810 e 1080 ao mesmo tempo, ele precisa ser, necessariamente, um divisor de 270 (pois todo divisor comum das três medidas também divide o MDC delas).

Listando os divisores de 270 em ordem decrescente: 270, 135, 90, 54, 45, 30, 27, 18, 15, 10, 9, 6, 5, 3, 2, 1.

O maior divisor de 270 que é menor que 200 é 135 cm. Esse é o comprimento máximo de peça que satisfaz simultaneamente "sem sobra" e "menor que 2 m".

Subpasso 4.3 — Verificação e contagem das peças

Confirmando que 135 divide as três medidas exatamente:

• 540 ÷ 135 = 4 peças por tábua
• 810 ÷ 135 = 6 peças por tábua
• 1080 ÷ 135 = 8 peças por tábua

Multiplicando pelo número de tábuas de cada tipo:

• Tábuas de 540 cm: 4 × 40 = 160 peças
• Tábuas de 810 cm: 6 × 30 = 180 peças
• Tábuas de 1080 cm: 8 × 10 = 80 peças

Total: 160 + 180 + 80 = 420 peças

Como verificação cruzada, o comprimento total de madeira disponível é 40×540 + 30×810 + 10×1080 = 21.600 + 24.300 + 10.800 = 56.700 cm. Dividindo pelo comprimento da peça: 56.700 ÷ 135 = 420 — o mesmo resultado, confirmando a resposta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 105 peças.

❌ Incorreta: esse valor surge ao dividir o comprimento total de madeira (56.700 cm) pelo comprimento de uma única tábua-padrão de 540 cm (56.700 ÷ 540 = 105), em vez de dividir pelo comprimento correto da peça (135 cm). O erro confunde "quantas tábuas de 540 cm caberiam no total de madeira" com "quantas peças de 135 cm resultam do corte" — grandezas completamente diferentes no problema.

B) 120 peças.

❌ Incorreta: resulta de aplicar o raciocínio somente às 40 tábuas de 540 cm, usando o maior divisor de 540 cm menor que 200 cm de forma isolada (180 cm, pois 540 ÷ 180 = 3), sem checar se 180 cm também divide 810 cm e 1080 cm sem resto (810 ÷ 180 = 4,5, o que já invalida esse comprimento). O erro é tratar o problema como se cada grupo de tábuas pudesse ter uma peça de tamanho diferente, quando na verdade o comprimento deve ser um só, comum às três medidas.

C) 210 peças.

❌ Incorreta: é a armadilha central da questão. Usa o MDC verdadeiro de 540, 810 e 1080 (270 cm) diretamente, sem aplicar a restrição "menor que 2 m" do enunciado: (540÷270)×40 + (810÷270)×30 + (1080÷270)×10 = 80 + 90 + 40 = 210. O erro conceitual é resolver corretamente a parte de MDC, mas ignorar a condição extra que o próprio arquiteto impôs — 270 cm equivale a 2,70 m, maior que o limite de 2 m.

D) 243 peças.

❌ Incorreta: esse número não corresponde a nenhum comprimento de peça que seja, ao mesmo tempo, divisor comum de 540, 810 e 1080 e respeite o limite de 2 m. Costuma aparecer quando há erro na fatoração (por exemplo, atribuir o expoente errado ao fator 3 ao comparar 540 = 2²×3³×5, 810 = 2×3⁴×5 e 1080 = 2³×3³×5) ou na multiplicação final pelo número de tábuas de cada grupo, gerando um total que não é sequer múltiplo consistente de nenhuma divisão exata das três medidas.

E) 420 peças.

✅ Correta: usando o comprimento de peça de 135 cm — o maior divisor comum de 540, 810 e 1080 que é menor que 200 cm — obtém-se 4 + 6 + 8 peças por tábua nos respectivos grupos, totalizando (4×40) + (6×30) + (8×10) = 160 + 180 + 80 = 420 peças, sem nenhuma sobra de madeira.

🏆 Gabarito: E — 420 peças é o único resultado compatível com cortar as três medidas em pedaços de 135 cm (maior divisor comum de 540, 810 e 1080 que respeita o limite de menos de 2 m), sem sobras.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra E usa simultaneamente o comprimento correto de peça (135 cm, divisor comum das três medidas e menor que 200 cm) e a soma completa e correta das peças dos três grupos de tábuas (160 + 180 + 80 = 420).
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente traz problemas de "corte sem sobras com o maior tamanho possível" — ladrilhos, tábuas, canos, rolos de tecido — que são, na essência, aplicações diretas de MDC, muitas vezes com uma restrição extra (um limite de tamanho, um número mínimo de peças etc.) que testa se o candidato entende o significado do MDC e não apenas o algoritmo.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "maior tamanho possível, sem sobra, para dividir várias medidas", calcule o MDC das medidas; se houver uma condição adicional (por exemplo, "menor que X"), a resposta não é necessariamente o MDC puro, mas sim o maior divisor do MDC que atende a essa condição.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o MDC "bruto" (270 cm) — isso imediatamente descarta qualquer alternativa que ignore a restrição de 2 m (aqui, a alternativa C, que usa 270 cm direto). Em seguida, verifique se o valor usado no cálculo é de fato divisor comum das três medidas — isso elimina alternativas que usam divisores de apenas um número isoladamente (como a B, que usa 180 cm só para as tábuas de 540 cm).
• Conexões: o mesmo raciocínio de MDC aparece em problemas de "menor número de grupos iguais" e é o espelho do MMC (Mínimo Múltiplo Comum), usado quando o problema pede para sincronizar eventos periódicos em vez de dividir medidas em partes iguais.