Questão 174 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Quadrática (vértice da parábola, valor máximo)
• ⚡ Nível: Médio — exige lembrar a fórmula do vértice (ou completar quadrado) e depois cruzar o resultado com uma tabela de intervalos, dois passos que muitos estudantes fazem separados sem conectar.
• 🎯 Tema/Habilidade: Determinar o valor máximo de uma função quadrática e interpretar esse valor dentro de uma tabela de classificação (competência de resolução de problemas com funções — H16/H21 da matriz do ENEM).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre a temperatura máxima da estufa e diga em qual faixa da tabela ela se encaixa."
• Palavras-chave decisivas: temperatura máxima, maior número possível de bactérias, classificada
• Armadilha típica: calcular a temperatura em um horário qualquer (ex.: h = 0 ou confundir com a raiz da função, onde T = 0) em vez de encontrar de fato o ponto de máximo da parábola; ou, depois de achar T = 36, ler a tabela errado e confundir "30 ≤ T ≤ 43" com "17 < T < 30".
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de identificar que "maior número de bactérias" equivale a "temperatura máxima da função T(h)" e de calcular corretamente as coordenadas do vértice de uma parábola com concavidade para baixo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática: toda expressão do tipo T(h) = ah² + bh + c, com a ≠ 0, tem como gráfico uma parábola. Aqui, a = –1, b = 22, c = –85.
• Concavidade e ponto de máximo: quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo, então o vértice é o ponto de valor máximo da função — exatamente o que o problema pede.
• Coordenadas do vértice: h_v = –b/(2a) fornece o instante (hora do dia) em que ocorre o máximo; T_v = –Δ/(4a), com Δ = b² – 4ac, fornece o valor máximo da temperatura.
• Leitura de tabela de intervalos: depois de obter o número, é preciso verificar em qual linha da tabela (limites abertos "<" ou fechados "≤") o valor se encaixa — atenção redobrada aos símbolos de desigualdade.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "T(h) = – h² + 22h – 85" → função quadrática com a = –1 (concavidade para baixo), logo existe um valor máximo bem definido, calculável pelo vértice.
• Evidência 2: "o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima" → o problema reduz a pergunta "quando há mais bactérias" a uma pergunta puramente matemática: "qual é o valor máximo de T(h)?".
• Evidência 3 (tabela da imagem): os intervalos são T < 0 (muito baixa), 0 ≤ T ≤ 17 (baixa), 17 < T < 30 (média), 30 ≤ T ≤ 43 (alta) e T > 43 (muito alta) → depois de calcular o máximo, basta localizar o valor numérico nessa escala.
• Síntese: o caminho é (1) calcular o valor máximo de T(h) pelo vértice da parábola e (2) comparar esse número com os intervalos da tabela para nomear a classificação correspondente.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar os coeficientes e confirmar que existe máximo

Na função T(h) = –h² + 22h – 85, temos:

a = –1, b = 22, c = –85

Como a = –1 < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo, ou seja, o vértice representa o ponto de valor máximo da temperatura — é exatamente esse ponto que o estudante precisa encontrar para saber quando retirar as bactérias.

Subpasso 4.2 — Calcular a hora do máximo (coordenada h do vértice)

h_v = –b / (2a) = –22 / (2 × (–1)) = –22 / (–2) = 11

Ou seja, o pico de temperatura ocorre às 11h.

Subpasso 4.3 — Calcular a temperatura máxima (coordenada T do vértice)

Substituindo h = 11 diretamente na função:

T(11) = –(11)² + 22×(11) – 85

T(11) = –121 + 242 – 85

T(11) = 121 – 85

T(11) = 36 °C

(Conferindo pelo caminho do discriminante, chega-se ao mesmo valor: Δ = b² – 4ac = 22² – 4×(–1)×(–85) = 484 – 340 = 144; T_v = –Δ/(4a) = –144/(–4) = 36 °C — os dois métodos batem, o que reforça a confiança no resultado.)

Subpasso 4.4 — Verificação: localizar T = 36 °C na tabela

Percorrendo as faixas da tabela:

• T < 0 → muito baixa (não se aplica)
• 0 ≤ T ≤ 17 → baixa (não se aplica)
• 17 < T < 30 → média (não se aplica, pois 36 > 30)
• 30 ≤ T ≤ 43 → alta ✔ (36 está dentro desse intervalo, pois 30 ≤ 36 ≤ 43)
• T > 43 → muito alta (não se aplica)

O valor T = 36 °C cai exatamente na faixa "30 ≤ T ≤ 43", classificada como alta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) muito baixa.

❌ Incorreta: corresponderia a T < 0. O estudante cairia nessa alternativa apenas se confundisse "temperatura máxima" com uma raiz da função ou cometesse erro de sinal ao calcular o vértice, obtendo um resultado negativo indevido.

B) baixa.

❌ Incorreta: corresponderia a 0 ≤ T ≤ 17. Esse erro surge tipicamente de um deslize aritmético no cálculo de T(11), como esquecer de elevar ao quadrado corretamente ou trocar o sinal de algum termo, resultando em um valor bem menor que 36.

C) média.

❌ Incorreta: corresponderia a 17 < T < 30. É a alternativa "vizinha" à correta e costuma pegar quem erra por pouco no cálculo — por exemplo, ao calcular T(10) ou T(12) em vez de T(11), obtendo valores próximos de 36, mas ainda abaixo de 30 só em casos de erro maior; de qualquer forma, 36 está fora desse intervalo.

D) alta.

✅ Correta: com T(h) máxima igual a 36 °C, o valor se enquadra exatamente no intervalo 30 ≤ T ≤ 43, classificado na tabela como "alta". Essa é a única alternativa compatível com o cálculo correto do vértice da parábola.

E) muito alta.

❌ Incorreta: corresponderia a T > 43. Esse erro pode surgir se o estudante somar incorretamente os termos de T(11) (por exemplo, esquecendo de subtrair 85 corretamente), inflando o resultado para além do intervalo real.

🏆 Gabarito: D — a temperatura máxima da estufa é 36 °C (obtida pelo vértice da parábola T(h) = –h² + 22h – 85), valor que se enquadra no intervalo "30 ≤ T ≤ 43", classificado na tabela como alta.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como a = –1 < 0, a função tem um máximo único no vértice; calculando h_v = 11 e T_v = 36, o único intervalo da tabela que contém 36 é "30 ≤ T ≤ 43" — alta, alternativa D.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora usar funções quadráticas em contextos aplicados (temperatura, lucro, altura de projétil, área de terreno), sempre pedindo "o valor máximo/mínimo ocorre quando..." — o truque é sempre reconhecer que isso significa "calcule o vértice".
• Generalização: para qualquer função do tipo f(x) = ax² + bx + c, se a < 0 o vértice é o ponto de máximo; se a > 0, é o ponto de mínimo. As coordenadas são sempre x_v = –b/(2a) e y_v = –Δ/(4a) (ou substituição direta de x_v na função).
• Dica de eliminação rápida: depois de calcular o valor numérico do máximo, escreva os cinco intervalos da tabela ao lado e risque mentalmente os que claramente não contêm o número (por exemplo, se o valor está entre 30 e 40, já elimina de cara "muito baixa", "baixa" e "muito alta", restando decidir apenas entre "média" e "alta" com os limites exatos).
• Conexões: temas próximos incluem "raízes de função quadrática" (Bhaskara), problemas de otimização com área/perímetro e leitura de gráficos de parábolas em questões de Física (lançamento de projéteis, também modelado por função quadrática).