Questão 137 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (triângulo equilátero e circunferência circunscrita)
• ⚡ Nível: Médio — exige lembrar a relação entre o baricentro e o circuncentro de um triângulo equilátero, não apenas aplicar uma fórmula direta.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relações métricas no triângulo equilátero aplicadas à circunferência circunscrita; competência de resolver situações-problema que envolvem propriedades geométricas.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o menor raio, entre os cinco oferecidos, capaz de cobrir totalmente uma base triangular equilátera de lado 30 cm?"
• Palavras-chave decisivas: "cobrir a base superior", "menor diâmetro que seja suficiente", triângulo equilátero
• Armadilha típica: calcular a circunferência inscrita (que toca os lados) em vez da circunferência circunscrita (que passa pelos vértices) — ou simplesmente usar o próprio lado do triângulo (30 cm) como se fosse o raio necessário.
• O que a resposta precisa demonstrar: o cálculo correto do raio mínimo que garante cobertura total dos três vértices do triângulo, seguido da escolha do menor valor da tabela que seja maior ou igual a esse mínimo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Altura do triângulo equilátero: para um triângulo equilátero de lado l, a altura vale h = (l√3)/2. Essa altura também é mediana e bissetriz, pois o triângulo é simétrico.
• Coincidência baricentro-circuncentro: em um triângulo equilátero, baricentro, circuncentro, incentro e ortocentro são todos o mesmo ponto. Esse ponto divide cada mediana na razão 2:1, contando a partir do vértice.
• Raio da circunferência circunscrita: como esse ponto central é também o circuncentro, a distância dele até qualquer vértice (o raio R) equivale a 2/3 da altura: R = (2/3)h. É essa circunferência que "enxerga" os três vértices e, portanto, cobre toda a figura.
• Cobrir totalmente ≠ inscrever: um círculo só cobre um polígono por completo se contiver todos os seus vértices — logo, o raio mínimo de cobertura é exatamente o raio circunscrito, nunca o raio inscrito (que é menor).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm" → a superfície que precisa ser coberta é um triângulo equilátero de lado 30 cm; é sobre essa base que o tampo circular vai se apoiar.
• Evidência 2: "tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte" → o círculo precisa conter o triângulo inteiro (os três vértices incluídos), condição que define exatamente a circunferência circunscrita ao triângulo.
• Evidência 3: "Considere 1,7 como aproximação para √3" → aviso explícito de que a fórmula da altura do triângulo equilátero (que envolve √3) será necessária, confirmando o caminho de resolução via geometria plana clássica.
• Síntese: o problema pede o raio circunscrito ao triângulo de lado 30 cm; calculamos esse valor usando a relação h = (l√3)/2 e R = (2/3)h, aproximamos com √3 ≈ 1,7 e comparamos com a tabela de tampos disponíveis, escolhendo o menor que seja suficiente.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular a altura do triângulo equilátero

Com lado l = 30 cm:

h = (l√3)/2 = (30√3)/2 = 15√3 cm

Subpasso 4.2 — Obter o raio da circunferência circunscrita

No triângulo equilátero, o circuncentro coincide com o baricentro, que divide cada mediana (aqui, a própria altura) na razão 2:1 a partir do vértice. Logo, a distância do centro até qualquer vértice — o raio R — corresponde a 2/3 da altura total:

R = (2/3) × h = (2/3) × 15√3 = 10√3 cm

Substituindo a aproximação dada, √3 ≈ 1,7:

R ≈ 10 × 1,7 = 17 cm

Subpasso 4.3 — Verificação e escolha do tampo

O tampo precisa ter raio maior ou igual a 17 cm para cobrir totalmente a base (inclusive os três vértices do triângulo, que são os pontos mais distantes do centro). Entre os valores oferecidos pela loja — 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm —, todos são tecnicamente suficientes, mas o enunciado pede o de menor diâmetro que ainda atenda à condição. Como 18 cm é o menor valor da lista que já ultrapassa os 17 cm exigidos (folga de apenas 1 cm), ele é a escolha ótima: cobre a base sem desperdiçar vidro além do necessário.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 18.

✅ Correta: é o menor raio da tabela que é maior ou igual ao raio circunscrito calculado (≈17 cm). Garante cobertura total dos vértices do triângulo com a menor sobra possível de vidro, atendendo exatamente ao pedido de "menor diâmetro suficiente".

B) 26.

❌ Incorreta: embora cubra a base (26 > 17), está bem acima do mínimo necessário. Esse valor tende a surgir de erros de cálculo intermediário (por exemplo, somar incorretamente termos da altura com o lado) ou de simplesmente pular para uma opção "com folga" sem calcular o raio mínimo real.

C) 30.

❌ Incorreta: é o valor numérico do próprio lado do triângulo, uma armadilha clássica para quem confunde "lado do triângulo" com "raio do círculo que o cobre". Não há justificativa geométrica para igualar essas duas grandezas; usar 30 cm ignora completamente a relação entre lado, altura e raio circunscrito.

D) 35.

❌ Incorreta: superdimensiona o tampo. Pode surgir de um erro ao calcular a altura completa (h = 15√3 ≈ 25,5 cm) e arredondá-la para cima até o valor disponível mais próximo na tabela, esquecendo de aplicar a razão 2/3 que relaciona altura e raio circunscrito.

E) 60.

❌ Incorreta: valor exagerado, muito provavelmente confundido com o dobro do lado do triângulo (2 × 30) ou com uma leitura equivocada de "diâmetro" no lugar de "raio". Está muitíssimo acima do necessário e representa desperdício evidente de material.

🏆 Gabarito: A — o raio mínimo necessário para cobrir totalmente a base triangular é R = 10√3 ≈ 17 cm; entre as opções da loja, 18 cm é o menor valor que atende a essa condição, sendo portanto a escolha mais econômica e correta.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como o raio de cobertura mínimo é aproximadamente 17 cm, e a loja não vende esse valor exato, a alternativa correta precisa ser o menor múltiplo disponível que ultrapasse esse limite — e esse número é 18 cm, alternativa A.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar geometria espacial (o prisma, contexto da mesa) com geometria plana (o triângulo da base) e ainda cobrar uma etapa de "otimização prática" — escolher, entre opções comerciais, a menor que atenda a uma exigência mínima.
• Generalização: sempre que um problema pedir para "cobrir totalmente" um polígono com uma figura circular, o raio necessário é o da circunferência circunscrita (que passa pelos vértices), nunca o da circunferência inscrita (que toca os lados) — são conceitos opostos e frequentemente trocados.
• Dica de eliminação rápida: no triângulo equilátero, lembre que R = (2/3)h e h < l. Isso já descarta de cara alternativas iguais ou maiores que o próprio lado (30 cm) por estarem claramente superdimensionadas, e evita cair na armadilha de igualar raio a lado.
• Conexões: essa relação 2:3 entre baricentro/circuncentro e a mediana aparece em várias questões sobre triângulos equiláteros (áreas, apótemas de hexágonos regulares construídos a partir de triângulos) e é útil também em problemas de embalagens e tampas circulares que "envolvem" outras figuras planas.