Questão 171 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume do cilindro) + conversão de unidades
• ⚡ Nível: Médio — a fórmula do volume do cilindro é simples, mas a questão exige perceber que o "índice pluviométrico" é definido em relação a um tanque padrão de 1 m² de base, e não em relação à lata cilíndrica usada na coleta
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de volumes de sólidos geométricos e conversão entre volume e altura equivalente em outra base (competência de Matemática e suas Tecnologias — resolução de situações-problema com grandezas geométricas)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Determine, em milímetros, a altura que a água coletada na lata cilíndrica teria se fosse transferida para o tanque-padrão de 1 m² de base usado para definir o índice pluviométrico."
• Palavras-chave decisivas: índice pluviométrico, 1 m² de área de base, um terço da capacidade
• Armadilha típica: calcular apenas a altura da água dentro da própria lata (1/3 de 1 200 mm = 400 mm) e marcar esse valor como resposta — esse número nem aparece nas alternativas, sinal de que o raciocínio está incompleto
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de calcular o volume de um cilindro, identificar a fração desse volume que corresponde à água acumulada e, em seguida, converter esse volume para a altura equivalente em um recipiente de base diferente (1 m²), usando as unidades corretamente

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cilindro: V = π · r² · h, em que r é o raio da base e h é a altura. É o volume total (capacidade) do recipiente.
• Definição de índice pluviométrico (dada no enunciado): altura, em mm, que a água atingiria se estivesse acumulada em um tanque aberto com exatamente 1 m² de área de base. Ou seja, índice = Volume de água ÷ Área da base padrão (1 m²).
• Conversão de unidades: como todas as medidas do problema (raio e altura da lata) estão em milímetros, a área de referência de 1 m² também deve ser convertida para mm²: 1 m = 1 000 mm, logo 1 m² = 1 000 mm × 1 000 mm = 1 000 000 mm².
• Princípio da equivalência de volumes: o mesmo volume de água pode ocupar alturas diferentes dependendo da área da base do recipiente. Por isso, transferir a água da lata (base pequena) para o tanque padrão (base de 1 m²) muda a altura observada — essa é a essência do problema.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e altura 1 200 mm" → fornece as dimensões necessárias para calcular a capacidade total do cilindro pela fórmula V = π r² h.
• Evidência 2: "a quantidade de chuva acumulada [...] era de um terço da sua capacidade" → a água não enche a lata inteira; é preciso multiplicar o volume total por 1/3 para obter o volume efetivamente coletado.
• Evidência 3: "Utilize 3,0 como aproximação para π" → sinaliza que o resultado final deve ser um número "redondo", compatível com contas exatas — é a confirmação de que a estratégia de cálculo direto (sem casas decimais complicadas) é a esperada.
• Síntese: o caminho é (1) calcular o volume total da lata, (2) tomar 1/3 desse volume (água realmente coletada), (3) dividir esse volume pela área de 1 m² (convertida para mm²) para obter a altura equivalente no tanque-padrão — que é, por definição, o índice pluviométrico.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Capacidade total da lata cilíndrica

Aplicando V = π · r² · h, com π ≈ 3,0, r = 300 mm e h = 1 200 mm:

V = 3,0 × (300)² × 1 200

V = 3,0 × 90 000 × 1 200

V = 3,0 × 108 000 000

V = 324 000 000 mm³

Essa é a capacidade máxima da lata, ou seja, o volume que ela comportaria se estivesse completamente cheia.

Subpasso 4.2 — Volume de água efetivamente acumulado

O enunciado diz que a água ocupava apenas um terço da capacidade:

V_água = (1/3) × 324 000 000 mm³ = 108 000 000 mm³

Esse é o volume real de chuva que caiu e foi coletado pela lata.

Subpasso 4.3 — Conversão para a altura no tanque-padrão (1 m²) e verificação

O índice pluviométrico é definido como a altura que esse volume de água atingiria em um tanque de base quadrada de 1 m². Convertendo a área de referência para milímetros quadrados:

1 m² = 1 000 mm × 1 000 mm = 1 000 000 mm²

Como Volume = Área da base × Altura, isolando a altura (o índice pluviométrico, em mm):

Índice = V_água ÷ Área da base

Índice = 108 000 000 mm³ ÷ 1 000 000 mm²

Índice = 108 mm

Verificando contra as alternativas: 108,0 mm corresponde exatamente à alternativa D. Note que o valor 400 mm (altura da água dentro da própria lata, 1/3 × 1 200) não aparece entre as opções — isso confirma que o cálculo intermediário estava correto, mas a resposta final exigia a conversão para a base de 1 m², não a altura na lata original.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 10,8.

❌ Incorreta: esse valor surge de um erro de ordem de grandeza na conversão da área de referência — por exemplo, tratar 1 m² como se equivalesse a 10 000 000 mm² em vez de 1 000 000 mm². O volume de água (108 000 000 mm³) até é calculado corretamente, mas a divisão final por uma área dez vezes maior que a correta gera um resultado dez vezes menor que o verdadeiro.

B) 12,0.

❌ Incorreta: valor compatível com quem mistura etapas do cálculo — por exemplo, aplica apenas parcialmente a fórmula do cilindro (esquecendo de elevar o raio ao quadrado ou de usar corretamente a fração 1/3 junto com a conversão de área) e chega a uma altura muito menor que a real. Reforça que pular etapas na resolução geométrica leva a resultados sem correspondência física com o problema.

C) 32,4.

❌ Incorreta: é o resultado de somar dois erros — usar a capacidade total da lata (324 000 000 mm³) em vez de apenas 1/3 dela, e ainda cometer o mesmo deslize de conversão de área da alternativa A (dividir por uma área dez vezes maior que 1 000 000 mm²). Dois enganos que, combinados, afastam ainda mais o resultado do valor correto.

D) 108,0.

✅ Correta: é exatamente o valor obtido ao (1) calcular a capacidade total da lata (324 000 000 mm³), (2) tomar 1/3 dela para achar o volume de água acumulado (108 000 000 mm³) e (3) dividir esse volume pela área de 1 m² convertida corretamente para 1 000 000 mm², resultando em 108 mm — a altura equivalente no tanque-padrão que define o índice pluviométrico.

E) 324,0.

❌ Incorreta: corresponde a ignorar a informação de que a água ocupava apenas "um terço da capacidade" da lata e usar diretamente a capacidade total do cilindro (324 000 000 mm³) dividida pela área de 1 m². É o erro clássico de quem calcula corretamente o volume do cilindro, mas esquece de aplicar a fração dada no enunciado.

🏆 Gabarito: D — o índice pluviométrico é a altura que o volume de água coletado (um terço da capacidade da lata, 108 000 000 mm³) atingiria em um tanque de 1 m² de base; dividindo esse volume pela área de 1 000 000 mm², obtém-se exatamente 108,0 mm.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa D aplica corretamente as três etapas na ordem certa — volume total do cilindro, fração de 1/3 e conversão para a área de referência de 1 m² em milímetros quadrados — por isso é a única resposta compatível com a definição dada no próprio enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente contextualiza fórmulas de geometria espacial (cilindro, cubo, prisma, cone) em situações do cotidiano — reservatórios, caixas d'água, latas, piscinas — sempre exigindo que o estudante extraia os dados relevantes de um texto longo antes de aplicar a fórmula.
• Generalização: sempre que um problema comparar volumes entre recipientes de formatos ou bases diferentes, o caminho seguro é calcular o volume em uma unidade única e depois igualar Volume = Área da base × Altura para achar a grandeza pedida — nunca comparar alturas diretamente entre recipientes com bases distintas.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente a ordem de grandeza do volume (aqui, ~10⁸ mm³) e da área de referência (10⁶ mm²); o quociente deve ficar na casa das centenas — isso já elimina de cara valores muito pequenos (10,8 e 12,0) por estarem fora dessa faixa esperada.
• Conexões: revise também conversão de unidades de volume (mm³, cm³, litros, m³) e problemas de vazão/capacidade de reservatórios, temas que aparecem com frequência combinados a geometria espacial no ENEM.