Questão 147 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem) + interpretação de tabelas e desigualdades
• ⚡ Nível: Difícil — exige montar um modelo com variáveis desconhecidas, tratar um critério de desempate e só então aplicar a contagem, tudo em contexto narrativo denso
• 🎯 Tema/Habilidade: Princípio Multiplicativo aplicado a uma situação de contagem condicionada por desigualdades (Competência de Área 5 — Modelar e resolver problemas de contagem)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quantas formas o jurado B pode distribuir as notas do quesito Bateria entre as 5 escolas de modo que a Escola II termine em 1º lugar?"
• Palavras-chave decisivas: notas do jurado B, quesito Bateria, campeã Escola II
• Armadilha típica: achar que apenas a nota de uma escola está faltando (ler rápido e supor que só a Escola II tem nota pendente); na verdade, a coluna "B" do quesito Bateria está em branco para todas as cinco escolas, e o jurado atribui uma nota entre 6 e 10 a cada uma delas
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de identificar quais escolas realmente competem pelo título (eliminando as que matematicamente não alcançam a líder), aplicar a regra de desempate corretamente e só depois multiplicar as possibilidades

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem (PFC): se uma escolha pode ser feita de m formas e outra, independente, de n formas, o total de combinações é m × n. Aqui, cada nota do jurado B (uma por escola) é uma escolha independente entre 5 valores possíveis {6, 7, 8, 9, 10}.
• Variável livre vs. variável restrita: numa contagem combinada com condições, é preciso separar o que é livre (não interfere no resultado pedido) do que é restrito (precisa satisfazer uma desigualdade). Multiplicam-se os casos livres pelos casos restritos que sobrevivem à condição.
• Critério de desempate como filtro adicional: quando o problema define um "critério 2" para casos de igualdade no "critério 1", isso não cria uma nova contagem — apenas decide quem vence quando a soma total empata. É preciso verificar, antes de tudo, se o empate é sequer relevante para o par de escolas em disputa.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada [quesito] por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10" → cada nota faltante (a do jurado B em Bateria) tem exatamente 5 valores possíveis, iguais para as 5 escolas.
• Evidência 2: a tabela traz os totais parciais (sem a nota de B em Bateria): Escola I = 55, Escola II = 66, Escola III = 50, Escola IV = 68, Escola V = 54 → esses números são o ponto de partida fixo de cada escola antes de somar a nota que falta.
• Evidência 3: "Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia" → no quesito 3 (Enredo e Harmonia), Escola II somou 10 + 10 = 20 e Escola IV somou 9 + 10 = 19; esse dado, já fixo na tabela, decide qualquer empate a favor da Escola II.
• Síntese: o problema se reduz a descobrir, para cada uma das 5 escolas, quantos valores de nota (de 6 a 10) o jurado B pode dar de modo que, ao final, a Escola II tenha pontuação total maior ou igual à de qualquer concorrente — sabendo que empates com a Escola IV (a única ameaça real) já estão garantidos para a Escola II pelo critério de desempate.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar a faixa de pontuação final de cada escola

Chame de x a nota (desconhecida) que o jurado B atribuirá a cada escola no quesito Bateria, com x ∈ {6, 7, 8, 9, 10}. A pontuação final de cada escola é o total já mostrado na tabela mais essa nota:

| Escola | Total parcial | Pontuação final possível |

|---|---|---|

| I | 55 | 61 a 65 |

| II | 66 | 72 a 76 |

| III | 50 | 56 a 60 |

| IV | 68 | 74 a 78 |

| V | 54 | 60 a 64 |

Subpasso 4.2 — Eliminar as escolas que não ameaçam a Escola II

Observe que o máximo que as Escolas I, III e V podem alcançar (65, 60 e 64, respectivamente) é sempre menor que o mínimo que a Escola II pode obter (72). Ou seja, mesmo que o jurado B dê nota 10 para I, III e V e nota 6 para a Escola II, ainda assim 65 < 72, 60 < 72 e 64 < 72. Essas três escolas nunca podem ultrapassar ou empatar com a Escola II — suas notas de Bateria são, portanto, totalmente livres: qualquer uma das 5 notas serve, sem nenhuma restrição.

Isso dá 5 × 5 × 5 = 125 combinações livres para as notas de B nas Escolas I, III e V.

A única concorrente real é a Escola IV, cuja faixa (74 a 78) se sobrepõe à faixa da Escola II (72 a 76).

Subpasso 4.3 — Resolver a disputa entre Escola II e Escola IV

Sejam x₂ a nota de B para a Escola II e x₄ a nota de B para a Escola IV. A Escola II é campeã se:

Pontuação final de II ≥ Pontuação final de IV

66 + x₂ ≥ 68 + x₄

x₂ ≥ x₄ + 2

(O sinal "≥", em vez de ">", vale porque, em caso de igualdade — 66 + x₂ = 68 + x₄ —, o desempate por Enredo e Harmonia favorece automaticamente a Escola II, já que 20 > 19. Logo, todo empate entre II e IV já é uma vitória de II.)

Testando x₄ = 6, 7, 8, 9, 10 e contando quantos x₂ ∈ {6,...,10} satisfazem x₂ ≥ x₄ + 2:

• x₄ = 6 → x₂ ≥ 8 → x₂ ∈ {8, 9, 10} → 3 opções
• x₄ = 7 → x₂ ≥ 9 → x₂ ∈ {9, 10} → 2 opções
• x₄ = 8 → x₂ ≥ 10 → x₂ ∈ {10} → 1 opção
• x₄ = 9 → x₂ ≥ 11 → impossível (nota máxima é 10) → 0 opções
• x₄ = 10 → x₂ ≥ 12 → impossível → 0 opções

Total de combinações válidas para o par (x₂, x₄): 3 + 2 + 1 + 0 + 0 = 6.

Subpasso 4.4 — Aplicar o Princípio Fundamental da Contagem

O número total de configurações das notas do jurado B que tornam a Escola II campeã é o produto entre as escolhas livres (I, III, V) e as escolhas restritas (II, IV):

125 (livres) × 6 (restritas) = 750

Subpasso 4.5 — Verificação

750 é exatamente uma das alternativas oferecidas (alternativa C), e o raciocínio fecha de forma consistente: nenhuma nota de I, III ou V pode mudar o resultado (verificado pelas faixas numéricas), o desempate favorece II sempre que há igualdade com IV (20 > 19 em Enredo e Harmonia), e a contagem 3+2+1+0+0 = 6 está correta para a desigualdade x₂ ≥ x₄ + 2. O resultado bate com o gabarito oficial.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 21

❌ Incorreta: é um valor pequeno demais — corresponde, por exemplo, ao total de pares (x₂, x₄) somado a algo próximo do número de combinações de 2 elementos entre 7 (C(7,2) = 21), mas não representa nenhum cálculo coerente com o problema. Sugere um erro grave de modelagem, como tentar combinar as notas sem separar variáveis livres das restritas.

B) 90

❌ Incorreta: resulta de esquecer o Princípio Multiplicativo com as três escolas livres. Por exemplo, 6 (pares válidos de II e IV) × 15 não fecha nada relevante, mas um erro comum aqui é multiplicar 6 × 5 × 3 = 90, ignorando que são três escolas livres (I, III e V), cada uma com 5 opções — e não apenas uma combinação parcial delas.

C) 750

✅ Correta: é o produto exato entre as 125 configurações livres das Escolas I, III e V (5 × 5 × 5) e as 6 configurações válidas do par Escola II/Escola IV que satisfazem x₂ ≥ x₄ + 2, considerando corretamente que o critério de desempate por Enredo e Harmonia já favorece a Escola II em qualquer igualdade de pontos com a Escola IV.

D) 1 250

❌ Incorreta: equivale a 5⁴ × 2, ou a um raciocínio que considera 10 combinações válidas para o par (II, IV) em vez de 6, multiplicadas por 125. É o erro de quem esquece de aplicar a condição x₂ ≥ x₄ + 2 e, em vez disso, conta apenas os pares em que x₂ ≥ x₄ (sem o "+2"), ou trata o desempate incorretamente, superestimando as configurações permitidas para a Escola IV.

E) 3 125

❌ Incorreta: é exatamente 5⁵, ou seja, o número total de configurações possíveis para as cinco notas do jurado B, sem nenhuma restrição — o erro clássico de quem ignora completamente a condição de a Escola II precisar vencer e apenas calcula todas as formas de distribuir as cinco notas de Bateria.

🏆 Gabarito: C — a Escola II é campeã em exatamente 750 configurações, resultado de 125 (notas livres das Escolas I, III e V) multiplicado por 6 (pares válidos das notas de II e IV que satisfazem x₂ ≥ x₄ + 2, com o desempate por Enredo e Harmonia sempre a favor da Escola II).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa C reflete corretamente a separação entre variáveis livres (que não afetam o resultado) e variáveis restritas (submetidas a uma desigualdade), multiplicadas pelo Princípio Fundamental da Contagem — 125 × 6 = 750.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de "esconder" a real fonte de restrição dentro de um enunciado longo (tabela, regra de desempate, várias escolas). A parte matemática em si é simples (PFC); a dificuldade está em filtrar informação irrelevante e identificar qual comparação realmente importa.
• Generalização: em problemas de contagem com múltiplas variáveis desconhecidas, sempre pergunte "essa variável interfere na condição pedida?". Se a resposta for não (como nas Escolas I, III e V, cujos totais máximos nunca alcançam o mínimo da Escola II), ela é livre e multiplica pelo total de valores possíveis; se a resposta for sim, ela exige uma contagem condicionada à parte.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o total de configurações sem nenhuma restrição (aqui, 5⁵ = 3 125). Esse número é sempre o "teto" — qualquer alternativa maior ou igual a ele (E, e possivelmente D se for maior) some ideias erradas rapidamente; qualquer alternativa muito pequena, como A, geralmente ignora o PFC.
• Conexões: revise Princípio Fundamental da Contagem multiplicativo, análise de intervalos numéricos (comparação de faixas mínimas e máximas) e problemas de otimização com desigualdades — todos recorrentes em questões de Matemática do ENEM envolvendo contagem contextualizada.