Questão 176 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções definidas por partes (função "por trechos") e leitura/interpretação de gráficos
• ⚡ Nível: Médio — não exige contas complicadas, mas exige organizar três regras de cobrança diferentes e traduzi-las, ao mesmo tempo, em comportamento gráfico correto
• 🎯 Tema/Habilidade: Função definida por partes aplicada a uma situação real de tarifação; competência de construir/reconhecer gráficos a partir de um texto (leitura, análise e representação de dados)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual gráfico representa corretamente o valor pago no plano em função do número de ligações, respeitando as três faixas de cobrança descritas?"
• Palavras-chave decisivas: valor fixo de R$12,00 até 100 ligações, adicional de R$0,10 da 101ª à 300ª, valor fixo de R$32,00 entre 300 e 500 ligações
• Armadilha típica: achar que o gráfico deve partir do zero (ponto (0,0)) porque "não há ligações, não há cobrança" — na verdade o plano cobra um valor fixo de R$12,00 mesmo que o cliente faça poucas ligações (ou nenhuma), então o gráfico começa em y = 12, não em y = 0. Outra armadilha comum é deixar o valor continuar subindo depois das 300 ligações, ignorando que o enunciado manda o valor voltar a ficar constante (R$32,00) entre 300 e 500 ligações.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar os três "regimes" do gráfico — constante, crescente, constante — e confirmar que os valores nos pontos de transição (x = 100 e x = 300) batem exatamente com R$12,00 e R$32,00.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função definida por partes (piecewise): função cuja lei de formação muda de acordo com o intervalo em que a variável independente se encontra. Graficamente, aparece como "pedaços" de curvas diferentes emendados em pontos específicos.
• Função constante: quando y não varia com x, o gráfico é um segmento horizontal. Aqui isso acontece em dois momentos: de 0 a 100 ligações (y = 12) e de 300 a 500 ligações (y = 32).
• Função afim (1º grau) crescente: entre 100 e 300 ligações, cada ligação extra soma R$0,10 ao valor total, gerando uma reta com inclinação positiva que liga o ponto (100, 12) ao ponto (300, 32).
• Continuidade nos pontos de emenda: para o plano fazer sentido, o valor no fim de um trecho tem que coincidir com o valor no início do próximo — não pode haver "saltos" nem "buracos" no gráfico.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "um valor fixo de R$12,00 para os clientes que fazem até 100 ligações ao mês" → de x = 0 a x = 100, o gráfico é horizontal em y = 12, não parte da origem.
• Evidência 2: "será cobrado um valor adicional de R$0,10 por ligação, a partir da 101ª até a 300ª" → entre x = 100 e x = 300, o valor cresce linearmente, partindo de R$12,00 (herdado do trecho anterior) e subindo R$0,10 a cada ligação extra.
• Evidência 3: "caso realize entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor fixo mensal de R$32,00" → de x = 300 a x = 500, o gráfico volta a ser horizontal, agora em y = 32.
• Síntese: o gráfico correto precisa apresentar exatamente três trechos, na ordem certa e nas alturas certas: reto-horizontal em 12 → reta crescente de 12 a 32 → reto-horizontal em 32.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrevendo a função por partes

Seja x o número de ligações e V(x) o valor mensal pago, em reais. De acordo com o enunciado:

V(x) = 12, para 0 ≤ x ≤ 100

V(x) = 12 + 0,10 · (x − 100), para 100 < x ≤ 300

V(x) = 32, para 300 < x ≤ 500

Subpasso 4.2 — Conferindo o ponto de transição em x = 300

Substituindo x = 300 na segunda lei, que descreve o trecho crescente:

V(300) = 12 + 0,10 · (300 − 100) = 12 + 0,10 × 200 = 12 + 20 = 32

O resultado bate exatamente com o valor fixo de R$32,00 informado para a faixa seguinte (entre 300 e 500 ligações). Isso confirma que a reta crescente termina precisamente no ponto (300, 32), emendando sem descontinuidade com o terceiro trecho — ou seja, o enunciado é internamente coerente, e o gráfico correto precisa refletir essa coerência.

Subpasso 4.3 — Verificação: traduzindo a lei em gráfico

• Trecho 1 (0 a 100 ligações): segmento horizontal na altura y = 12 — o cliente já começa pagando o valor fixo, mesmo com zero ligações.
• Trecho 2 (100 a 300 ligações): segmento de reta inclinada, crescente, ligando o ponto (100, 12) ao ponto (300, 32).
• Trecho 3 (300 a 500 ligações): segmento horizontal na altura y = 32 (que, na grade do gráfico — marcada de 3 em 3 —, aparece logo abaixo da linha y = 33).

Apenas o gráfico que exibir exatamente essas três características, na ordem certa, corresponde à situação descrita.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Gráfico que parte da origem (0,0) e cresce continuamente até x ≈ 300, depois fica constante

❌ Incorreta: a reta nasce em (0, 0) e sobe sem interrupção até 300 ligações, como se não existisse o valor fixo inicial de R$12,00. Isso contraria diretamente o enunciado: mesmo com poucas ligações (inclusive nenhuma), o cliente já paga R$12,00 — o valor jamais começa em zero.

B) Gráfico com patamar constante em 12 (de 0 a 100), reta crescente até 32 (de 100 a 300) e novo patamar constante em 32 (de 300 a 500)

✅ Correta: reproduz fielmente as três faixas de cobrança — constante em R$12,00 até 100 ligações, crescimento linear de R$0,10 por ligação entre a 101ª e a 300ª (atingindo R$32,00) e patamar constante em R$32,00 entre 300 e 500 ligações, exatamente como calculado no Passo 4.

C) Gráfico com patamar em 12 até 100, crescimento entre 100 e 300, mas que continua subindo mesmo após 300 ligações

❌ Incorreta: o primeiro trecho (patamar em R$12,00) está certo, mas depois das 300 ligações a curva segue crescendo em vez de estabilizar. O enunciado é explícito ao afirmar que, entre 300 e 500 ligações, o valor é fixo em R$32,00 — o gráfico deveria "achatar", não continuar subindo.

D) Gráfico em que a reta já nasce inclinada a partir de x = 0 (próximo de y = 12), sem nenhum patamar horizontal inicial, estabilizando-se só depois de 300 ligações

❌ Incorreta: falta o patamar constante entre 0 e 100 ligações — a cobrança de R$0,10 por ligação parece começar já na primeira ligação, e não apenas a partir da 101ª, como exige o texto. O trecho inicial precisa ser plano (constante), não inclinado.

E) Gráfico que parte da origem, sobe, quase estabiliza perto de 300, mas volta a crescer depois de 350 ligações

❌ Incorreta: comete dois erros ao mesmo tempo — começa em zero (sem o patamar inicial de R$12,00) e volta a crescer após as 300 ligações, quando deveria permanecer constante em R$32,00 até as 500 ligações.

🏆 Gabarito: B — é o único gráfico que reproduz corretamente os três regimes de cobrança do plano: constante em R$12,00 (até 100 ligações), crescente de R$12,00 a R$32,00 (de 100 a 300 ligações) e constante novamente em R$32,00 (de 300 a 500 ligações).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa B é a única que respeita, ao mesmo tempo, os três trechos descritos no enunciado e os valores exatos nos pontos de transição — (100, 12) e (300, 32) — calculados algebricamente no Passo 4.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorre com frequência a tarifas de telefonia, contas de água/luz e planos de assinatura como pretexto para cobrar funções definidas por partes, quase sempre misturando um trecho constante com um trecho de função afim (1º grau).
• Generalização: sempre que o enunciado descrever "valor fixo até X", "cobrança adicional entre X e Y" e "valor fixo entre Y e Z", esboce mentalmente o formato patamar-rampa-patamar e calcule os valores exatos nos pontos de quebra antes de comparar com as alternativas gráficas.
• Dica de eliminação rápida: olhe primeiro o início do gráfico (x = 0): se a curva não parte de um valor fixo diferente de zero, elimine — isso já descarta A e E. Em seguida, olhe o que acontece depois de x = 300: se a curva continuar subindo em vez de estabilizar, elimine — isso descarta C. Por fim, confira se a inclinação começa exatamente em x = 100 (e não antes), o que descarta D.
• Conexões: funções definidas por partes aparecem também em problemas de imposto de renda progressivo, tarifas de água e energia cobradas por faixa de consumo e tabelas de frete — todos seguem a mesma lógica de combinar trechos constantes e lineares.