Questão 154 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Logarítmica (propriedades operatórias e simetria do gráfico)
• ⚡ Nível: Difícil — exige traduzir uma condição geométrica em duas equações logarítmicas e resolver uma equação do 2º grau camuflada dentro delas.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situação real por meio de função logarítmica — resolver situação-problema envolvendo propriedades de logaritmos e equações que reduzem a uma equação quadrática.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a altura h do vidro (medida vertical) em função da largura n de sua base (medida horizontal), sabendo que a borda do vidro segue y = log(x) e que o eixo x corta h exatamente ao meio."
• Palavras-chave decisivas: eixo x divide ao meio a altura h, base paralela ao eixo x, y = log(x)
• Armadilha típica: supor que os dois extremos do vidro estão distribuídos simetricamente em torno de x = 1 por uma distância linear n/2 (abscissas 1+n/2 e 1−n/2). Essa é uma simetria aditiva, típica de retas — mas a curva logarítmica tem simetria multiplicativa/recíproca (x e 1/x), não aditiva.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar equações a partir da leitura do gráfico, reduzi-las a uma equação do 2º grau via substituição de variável, resolver por Bhaskara descartando a raiz inválida (fora do domínio do log) e só então recuperar h.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função logarítmica: y = log(x) (log decimal) é definida apenas para x > 0, é crescente e log(1) = 0 — por isso a curva cruza o eixo x exatamente em x = 1.
• Simetria "recíproca" do log: log(1/x) = −log(x). Dois pontos da curva com abscissas x e 1/x têm ordenadas opostas, ou seja, são simétricos em relação à reta y = 0 (o eixo x).
• Propriedades operatórias: log(a) − log(b) = log(a/b); log(a) + log(b) = log(a·b); k·log(a) = log(aᵏ).
• Equação do 2º grau via substituição: uma equação do tipo t − 1/t = n (com t > 0), ao ser multiplicada por t, vira t² − n·t − 1 = 0, resolvida pela fórmula de Bhaskara.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "bordas superiores... representadas pela curva y = log(x)" → o contorno superior do vidro é literalmente o gráfico da função logarítmica; os dois cantos extremos do vidro (o mais baixo e o mais alto) são pontos dessa curva.
• Evidência 2: "o eixo x sempre divide ao meio a altura h do vidro" → se t é a abscissa do canto superior do vidro, sua ordenada vale +h/2; o canto inferior tem ordenada −h/2. Como ambos pertencem à curva, log(t) = h/2, e a abscissa do canto inferior satisfaz log(x₁) = −h/2 = log(1/t), logo x₁ = 1/t.
• Evidência 3 (da figura): o segmento horizontal na base do vidro (paralelo ao eixo x) liga o pé do ponto inferior (abscissa 1/t) ao pé do ponto superior (abscissa t); esse comprimento é exatamente n, a medida da base — como mostram os traços tracejados que descem até o eixo x na figura.
• Síntese: logo n = t − 1/t, uma equação com uma só incógnita t; resolvendo-a e voltando à relação h = 2·log(t), obtemos h em função de n.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir a condição geométrica em equações

Chame de t a abscissa do ponto mais alto do vidro. Como esse ponto está sobre a curva y = log(x), sua ordenada é log(t). Pela condição do enunciado, o eixo x corta a altura h exatamente ao meio, então essa ordenada vale h/2:

log(t) = h/2 (I)

O ponto mais baixo do vidro também pertence à curva e, por simetria em relação ao eixo x, tem ordenada −h/2. Chamando sua abscissa de x₁:

log(x₁) = −h/2 = −log(t) = log(1/t)

Como a função log é injetiva (crescente), conclui-se que x₁ = 1/t.

Subpasso 4.2 — Usar a medida da base n

A base do vidro é o segmento horizontal que liga a projeção do ponto mais baixo (abscissa 1/t) à projeção do ponto mais alto (abscissa t). Seu comprimento é justamente n:

n = t − 1/t

Multiplicando os dois lados por t (t > 0):

n·t = t² − 1 → t² − n·t − 1 = 0

Aplicando Bhaskara nessa equação do 2º grau em t:

t = [n ± √(n² + 4)] / 2

Como t = 10^(h/2) precisa ser positivo, e √(n² + 4) > n para todo n real, a raiz com sinal "−" resultaria em t negativo — inválido, pois log só está definido para argumento positivo. Fica apenas a raiz positiva:

t = [n + √(n² + 4)] / 2

Subpasso 4.3 — Verificação

Voltando à equação (I): h = 2·log(t), logo:

h = 2 · log( [n + √(n² + 4)] / 2 )

Essa expressão é exatamente a alternativa E. Checagem de consistência: para n = 0 (base degenerada, largura nula), t = [0+2]/2 = 1, logo h = 2·log(1) = 0 — coerente, pois um vidro sem largura de base também não teria altura.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) log[(n+√(n²+4))/2] − log[(n−√(n²+4))/2]

❌ Incorreta: usa as duas raízes da equação t² − n·t − 1 = 0 como se fossem t e x₁. Só que a raiz negativa, (n−√(n²+4))/2, é sempre negativa (pois √(n²+4) > n), e log de número negativo não existe — a expressão é matematicamente inválida. O erro conceitual é não perceber que x₁ = 1/t (relação recíproca) e tentar usar a "outra raiz" da quadrática, que não representa nenhum ponto real da figura.

B) log(1+n/2) − log(1−n/2)

❌ Incorreta: pressupõe que os extremos do vidro têm abscissas 1+n/2 e 1−n/2, como se a base n estivesse distribuída simetricamente e linearmente em torno de x=1. Essa simetria aditiva é típica de retas, não da curva logarítmica, cuja simetria correta em torno de y=0 é recíproca (x e 1/x). Além disso, para n>2 essa expressão exigiria log de número negativo, outro sinal de que o modelo está errado.

C) log(1+n/2) + log(1−n/2)

❌ Incorreta: repete o mesmo erro conceitual da alternativa B (abscissas 1±n/2, simetria aditiva incorreta) e ainda soma os logaritmos em vez de subtraí-los, o que nem corresponde à diferença de ordenadas (h = y_topo − y_base) que deveria ser calculada.

D) log[(n+√(n²+4))/2]

❌ Incorreta: chega corretamente até t = [n+√(n²+4)]/2, mas para no valor de log(t), esquecendo de multiplicar por 2. Essa expressão equivale a h/2 (metade da altura, conforme log(t) = h/2), não à altura total h. É o erro clássico de resolver até a metade do caminho e esquecer o fator de simetria em torno do eixo x.

E) 2 log[(n+√(n²+4))/2]

✅ Correta: é exatamente h = 2·log(t) com t = [n+√(n²+4)]/2, deduzido corretamente a partir de log(t) = h/2 e da equação n = t − 1/t, resolvida por Bhaskara ao descartar a raiz negativa.

🏆 Gabarito: E — h = 2·log[(n+√(n²+4))/2] é a única expressão que preserva toda a cadeia lógica: log(t)=h/2 → n=t−1/t → t²−nt−1=0 → t=(n+√(n²+4))/2 → h=2log(t).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa E preserva integralmente a cadeia lógica descrita acima; qualquer desvio (usar a raiz negativa, assumir simetria aditiva, ou esquecer o fator 2) leva a uma das outras alternativas.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de "esconder" uma equação do 2º grau dentro de uma equação logarítmica ou exponencial, pedindo que o aluno faça uma substituição de variável (aqui, t = 10^(h/2)) para revelar a quadrática camuflada — geralmente do tipo t − 1/t = k ou t + 1/t = k.
• Generalização: sempre que uma curva log/exponencial for simétrica em relação a um eixo horizontal (y=0), a simetria correta entre dois pontos da curva é recíproca em x (x e 1/x), nunca aditiva (x₀+d e x₀−d) — essa é a armadilha mais comum em questões desse estilo.
• Dica de eliminação rápida: verifique o domínio do logaritmo. Qualquer alternativa cujo argumento possa ficar negativo (a raiz "−√" em A, ou 1−n/2 em B e C quando n>2) já está descartada de cara — isso elimina A, B e C rapidamente, restando decidir entre D e E se falta ou não o fator 2.
• Conexões: essa questão dialoga com equações exponenciais, equações do 2º grau resolvidas por substituição de variável, e com o conceito de função inversa (log e exponencial são inversas entre si, o que explica a simetria recíproca usada na resolução).