Questão 167 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (simetria de reflexão e planificação de figuras dobradas)
• ⚡ Nível: Difícil — exige visualizar mentalmente, ao mesmo tempo, a dobra, o corte e o desdobramento de uma figura, algo pouco treinado pela maioria dos alunos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Simetria axial aplicada ao recorte de papel dobrado (leitura e interpretação de representações geométricas — Competência de Área 2 do ENEM)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Determinar qual figura resulta ao abrir a folha quadrada depois de feitos os cortes na folha dobrada ao meio."
• Palavras-chave decisivas: dobraram ao meio, pontos médios, AM igual a um quarto de AD
• Armadilha típica: esquecer que o papel está dobrado durante o corte — isso faz o corte se repetir espelhado nas duas metades quando a folha é reaberta. Muitos alunos também assumem, por "beleza visual", que o recorte final é um "W" perfeitamente regular, sem checar as proporções exatas dadas no enunciado.
• O que a resposta precisa demonstrar: localizar M, N e O corretamente na folha dobrada, identificar qual lado do retângulo é o vinco (dobra) e qual é a aresta livre (borda cortável), e refletir esse raciocínio para reconstruir a silhueta final.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Simetria axial (reflexão): dobrar uma folha cria um eixo de simetria. Qualquer corte feito na folha dobrada aparece duplicado e espelhado em relação a esse eixo quando a folha é reaberta.
• Vinco × aresta livre: o vinco (linha da dobra) é papel contínuo — só se separa em dois traços se o corte efetivamente o atravessar. Já uma aresta livre (borda original do papel) sempre gera dois traços simétricos independentes ao desdobrar, porque ali as duas camadas de papel já estavam separadas.
• Leitura de proporções: "ponto médio" e "AM = ¼ de AD" definem alturas específicas e diferentes para os pontos M, N e O — é essa diferença de alturas que determina a forma exata do recorte, não uma simetria genérica.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "dobraram... sobrepondo os lados BC e AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B" → a dobra é feita exatamente na linha que passa pelo meio do quadrado original. Na Figura 2, o lado FG é essa dobra (vinco), enquanto o lado AD é a aresta livre, formada pela sobreposição de AD com BC.
• Evidência 2: "O... médio de FG", "N... médio de AF" e "M... AM igual a um quarto de AD" → fixam alturas precisas: O fica na metade da altura do retângulo dobrado (está sobre o vinco), M fica a um quarto da altura (está na aresta livre), e N fica no meio da base.
• Síntese: como o corte vai de M (aresta livre, altura ¼) até N (base) e depois até O (vinco, altura ½), o retângulo perde duas pontas triangulares. Ao desdobrar, a aresta livre duplica o corte por reflexão, mas o vinco só é tocado em O — acima desse ponto ele permanece inteiro. É essa combinação que cria, no centro da bandeirinha, um "bico" que sobe mais alto do que os pontos onde as laterais deixam de ser retas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Coordenadas do retângulo dobrado

Tome o lado do quadrado original como 4 unidades (valor arbitrário, só para facilitar as contas). Como a dobra sobrepõe metade do quadrado sobre a outra, o retângulo da Figura 2 tem largura 2 e altura 4:

A = (0, 0), F = (2, 0), G = (2, 4), D = (0, 4)

• AD (lateral esquerda) = aresta livre
• FG (lateral direita) = vinco (dobra)

Marcações: M em AD com AM = ¼·AD = ¼·4 = 1 → M = (0, 1). N é o ponto médio de AF → N = (1, 0). O é o ponto médio de FG → O = (2, 2).

Subpasso 4.2 — O que sobra depois do corte

Cortando ao longo de M→N→O, descartam-se dois triângulos (AMN, próximo do canto A, e NFO, próximo do canto F). O que sobra é o pentágono D(0,4) → G(2,4) → O(2,2) → N(1,0) → M(0,1), ou seja, o retângulo perde as duas pontas inferiores e ganha uma "reentrância" em V que toca a base exatamente em N.

Subpasso 4.3 — Desdobrando (refletindo em torno do vinco x = 2)

Como o corte termina exatamente em O, sobre o vinco, o trecho OG (parte de cima do vinco) nunca foi cortado e continua unido ao desdobrar — ali não há separação. Já o trecho FO (parte de baixo do vinco) foi removido junto com o triângulo NFO, então abaixo de O as duas metades se separam, formando dois "bicos" independentes.

Refletindo N(1,0) e M(0,1) em torno de x = 2: N' = (3, 0) e M' = (4, 1). O contorno completo da bandeirinha, percorrido a partir de D, é:

D(0,4) → C(4,4) [topo reto, largura total] → M'(4,1) [lateral direita reta até altura 1] → N'(3,0) [corte até tocar a base] → O(2,2) [bico central, subindo até a metade da altura] → N(1,0) [corte descendo de novo até a base] → M(0,1) [lateral esquerda reta] → D.

Verificação numérica decisiva: o bico central O está na altura 2 de um total de 4 (50% da altura), enquanto M e M' estão na altura 1 (25% da altura). Logo, o bico central deve ficar visivelmente mais alto do que os pontos onde as laterais retas terminam — não na mesma altura, nem mais baixo. Esse é o traço geométrico que separa a alternativa correta das demais.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Retângulo com recorte em "W" regular, em que o bico central atinge a mesma altura em que a lateral vira diagonal

❌ Incorreta: essa simetria "arrumada" ignora que O está na metade da altura enquanto M está a um quarto. Na figura calculada, o bico central deve ultrapassar claramente a altura de M — em A, ambos ficam na mesma cota, o que contraria o Subpasso 4.3.

B) Retângulo mais alto, com bico central raso, mais baixo do que os pontos em que as laterais se inclinam

❌ Incorreta: inverte a relação correta de alturas. Aqui o pico fica abaixo de M/M', quando deveria ficar acima deles, já que O (metade da altura) está mais alto que M (um quarto da altura).

C) Recorte assimétrico, com um dente extra e irregular logo ao lado do bico central

❌ Incorreta: sugere que o corte continuou além do ponto O, atravessando o vinco. O enunciado é claro que o corte vai só até O, que está sobre a dobra — tratar o vinco como se fosse uma aresta livre cortável duplicaria um corte que deveria permanecer inteiro ali.

D) Pentágono com apenas um canto cortado, sem nenhum bico central duplicado

❌ Incorreta: ignora completamente o efeito da dobra. Um corte único e assimétrico, sem espelhamento, é o que se obteria se a folha não tivesse sido dobrada antes do corte — mas o enunciado descreve exatamente o oposto.

E) Retângulo largo em cima, laterais retas descendo até perto da base, cortando em diagonal até dois pontos baixos, com um bico central alto e agudo que ultrapassa nitidamente a altura das laterais

✅ Correta: reproduz com fidelidade o pentágono D-G-O-N-M refletido — M e M' na altura ¼ (perto da base) e O na altura ½ (bem mais alto, formando o bico central pontiagudo), exatamente como determinado no Passo 4.

🏆 Gabarito: E — é a única alternativa em que a relação de alturas entre o bico central (metade da altura) e os pontos laterais (um quarto da altura) está representada corretamente.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra E é a única figura compatível com as posições calculadas — O na metade da altura do retângulo dobrado, M e M' a um quarto dessa altura, resultando em um bico central mais alto do que as reentrâncias laterais.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra periodicamente "geometria de recorte" — dobrar, cortar e prever a figura resultante (bandeirinhas, flocos de papel, rosetas) —, testando simetria de reflexão e leitura cuidadosa de proporções em figuras.
• Generalização: em qualquer problema de dobradura e corte, identifique primeiro o eixo de dobra (vinco): cortes que terminam exatamente sobre ele não se separam ali; cortes feitos na aresta livre sempre se duplicam por reflexão ao desdobrar.
• Dica de eliminação rápida: descarte de imediato alternativas com um único corte assimétrico (elas ignoram o efeito da dobra, como em D) e desconfie de recortes em "W" perfeitamente regulares — meça mentalmente as proporções dadas no enunciado (aqui, ¼ contra ½) antes de aceitar uma simetria "bonita demais".
• Conexões: planificação de sólidos e figuras planas, simetria de reflexão (o clássico "floco de papel"), razão e proporção aplicadas a segmentos de reta.