Questão 148 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume de prismas retangulares e empacotamento sem sobras)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar visualização espacial (encaixe exato das faces do contêiner no terreno) com divisões exatas em duas etapas encadeadas
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de volume e otimização de espaço (competência de área — Geometria; habilidade de resolver situações-problema envolvendo grandezas geométricas)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra a altura mínima da pilha formada por 100 contêineres idênticos, empilhados sobre um terreno de 10 m × 32 m, sem deixar espaços vazios nem ultrapassar essa área."
• Palavras-chave decisivas: não sobrarem espaços, não ultrapassarem a área, altura mínima
• Armadilha típica: tentar resolver só com a fórmula de volume (volume total ÷ área do terreno) sem verificar se essa divisão realmente corresponde a um encaixe geométrico possível — ou, ao contrário, escolher uma orientação de contêiner que não se encaixa exatamente nas dimensões do terreno, gerando frestas.
• O que a resposta precisa demonstrar: que existe uma disposição dos contêineres no terreno que ocupa 100% da área (sem sobras) e que, a partir dela, o número de camadas necessárias para acomodar os 100 contêineres é calculado corretamente.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Paralelepípedo retangular (prisma reto de base retangular): o contêiner é uma "caixa" com três dimensões distintas — comprimento, largura e altura — e qualquer uma delas pode ficar apoiada no chão, mudando a "base" e a "altura" do objeto conforme sua orientação.
• Divisão exata (tiling sem sobras): cobrir uma área retangular maior com retângulos menores idênticos, sem sobreposição e sem espaço vazio, só é possível quando os lados do retângulo menor dividem exatamente os lados do retângulo maior.
• Empilhamento em camadas: quando objetos idênticos são empilhados uns sobre os outros, a altura final é igual ao número de camadas multiplicado pela altura de cada contêiner (desde que todos fiquem na mesma orientação).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (Figura 1): o contêiner mede 6,4 m de comprimento, 2,5 m de largura e 2,5 m de altura → define as três dimensões fixas que precisam se encaixar no terreno.
• Evidência 2: "área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento" → o terreno-base tem 320 m² e é nele que os contêineres, camada por camada, precisam se encaixar perfeitamente.
• Evidência 3: "não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada" → a única disposição válida é aquela em que as dimensões do contêiner dividem exatamente 10 m e 32 m — ou seja, um "quebra-cabeça" perfeito, sem frestas.
• Síntese: é preciso achar a orientação do contêiner que faz suas duas dimensões de base caberem um número inteiro de vezes em 10 m e em 32 m; a dimensão que sobra vira a altura de cada camada, e o número de camadas sai da divisão dos 100 contêineres pela quantidade que cabe por camada.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Encontrar a orientação de encaixe perfeito

O contêiner tem dimensões 6,4 m × 2,5 m × 2,5 m. Para apoiá-lo no chão sem sobrar espaço no terreno de 10 m × 32 m, é preciso testar qual par de dimensões forma a "base" que se encaixa exatamente nos dois lados do terreno.

Testando a base 6,4 m × 2,5 m (contêiner deitado, como na Figura 1, com a altura de 2,5 m para cima):

• Ao longo do lado de 10 m: 10 ÷ 2,5 = 4 contêineres, exatos, sem resto.
• Ao longo do lado de 32 m: 32 ÷ 6,4 = 5 contêineres, exatos, sem resto.

Essa orientação encaixa perfeitamente nas duas direções — é a disposição que a norma do porto exige.

Subpasso 4.2 — Calcular contêineres por camada e número de camadas

Em cada camada (uma "fileira" de contêineres cobrindo todo o terreno), cabem:

4 (ao longo dos 10 m) × 5 (ao longo dos 32 m) = 20 contêineres por camada.

Confira pela área: área do terreno = 10 × 32 = 320 m²; área da base de um contêiner = 6,4 × 2,5 = 16 m²; 320 ÷ 16 = 20 contêineres por camada — mesmo resultado, confirmando que não há espaço vazio.

Como a carga total tem 100 contêineres, o número de camadas necessárias é:

100 ÷ 20 = 5 camadas.

Subpasso 4.3 — Verificação (altura final)

Cada camada tem a altura do contêiner na posição deitada, que é 2,5 m (a dimensão que ficou "de fora" do encaixe da base). Logo: Altura = 5 camadas × 2,5 m = 12,5 m.

Conferindo por volume: volume de 1 contêiner = 6,4 × 2,5 × 2,5 = 40 m³; volume total = 100 × 40 = 4 000 m³; altura = 4 000 ÷ 320 = 12,5 m. Os dois caminhos convergem para o mesmo valor, o que só ocorre porque o encaixe é perfeito (sem sobras) — confirmando a alternativa A) 12,5 m.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 12,5 m.

✅ Correta: é o resultado exato de 5 camadas de 20 contêineres cada (4 × 5), cada camada com 2,5 m de altura, ocupando os 320 m² do terreno sem nenhuma sobra — confirmado tanto pela contagem geométrica quanto pela divisão do volume total pela área do terreno.

B) 17,5 m.

❌ Incorreta: equivale a 7 camadas de 2,5 m. Surge quando o candidato erra a contagem de contêineres por camada — por exemplo, não multiplicando corretamente as duas direções (4 e 5) — obtendo um número que não divide 100 de forma exata. De fato, 100 ÷ 7 não é inteiro, o que já denuncia a inconsistência: sobrariam contêineres soltos, ferindo a condição de "não sobrarem espaços".

C) 25,0 m.

❌ Incorreta: é exatamente o dobro da altura correta (10 camadas de 2,5 m). Vem de um erro clássico na largura do terreno: em vez de dividir 10 m por 2,5 m (4 contêineres), o candidato usa um valor equivocado (como 5 m) e conclui que cabem só 2 contêineres nessa direção. Cada camada comportaria então 2 × 5 = 10 contêineres — metade da capacidade real —, exigindo o dobro de camadas para os mesmos 100 contêineres.

D) 22,5 m.

❌ Incorreta: corresponde a 9 camadas de 2,5 m. Aparece ao misturar, de forma inconsistente, contêineres em orientações diferentes (alguns deitados, alguns "em pé") tentando aproveitar sobras mal calculadas, o que gera um número de camadas que não é múltiplo exato de 100 ÷ 20. Como 100 é múltiplo exato de 20, o número de camadas só pode ser 5.

E) 32,5 m.

❌ Incorreta: valor próximo do próprio comprimento do terreno (32 m), o que sugere confundir uma dimensão do terreno com a altura da pilha — erro de leitura de dados, não de cálculo geométrico. Nenhuma combinação válida de camadas de 2,5 m ou 6,4 m para 100 contêineres reproduz esse número a partir de um encaixe sem sobras.

🏆 Gabarito: A — a única disposição que preenche os 320 m² do terreno sem sobras usa 20 contêineres por camada (4 × 5), exigindo 5 camadas de 2,5 m, o que resulta em 12,5 m de altura mínima.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como o encaixe da base do contêiner (6,4 m × 2,5 m) divide exatamente os dois lados do terreno (32 m e 10 m), a única solução compatível com "sem sobras" é 20 contêineres por camada e 5 camadas, o que trava a altura em 12,5 m — nenhum outro valor satisfaz simultaneamente as duas condições do enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente problemas de empacotamento/empilhamento de caixas, paletes, tijolos ou contêineres em áreas ou volumes dados, sempre testando se o candidato entende que a "montagem sem sobras" exige divisão exata das dimensões, não apenas cálculo direto de volume.
• Generalização: em qualquer problema de empilhamento sem sobras, primeiro identifique a orientação do objeto cuja base divide exatamente as duas dimensões do terreno/área disponível; só depois calcule quantos objetos cabem por camada e quantas camadas são necessárias para o total pedido.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o volume total (contêineres × volume unitário) dividido pela área do terreno — isso já entrega a altura correta quando o encaixe é perfeito; qualquer alternativa que não seja múltiplo "limpo" da altura do contêiner (aqui, 2,5 m) tende a vir de um erro de contagem de camadas, e pode ser descartada rapidamente.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de embalagens (quantas caixas cabem num contêiner ou caminhão) e em problemas de pavimentação/ladrilhamento, onde a chave também é a divisão exata das dimensões.