Questão 153 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (áreas de polígonos regulares) e Razão/Proporção
• ⚡ Nível: Difícil — exige comparar simultaneamente 5 figuras diferentes, calcular a área real de cada região a partir de marcas de igualdade e resistir à tentação de julgar "de olho"
• 🎯 Tema/Habilidade: Área de figuras planas aplicada à resolução de situações-problema envolvendo proporcionalidade (grandezas e medidas)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as cinco figuras desenhadas, qual delas tem realmente 60%, 10% e 30% de sua área dividida como pede o enunciado?"
• Palavras-chave decisivas: proporcionais, único, áreas
• Armadilha típica: confundir "parece dividido igualzinho" com "está matematicamente correto" — várias figuras têm regiões que parecem razoáveis, mas a área real não bate com a porcentagem exigida.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir cada desenho em frações de área usando as marcas de igualdade (tracinhos) e comparar o resultado com 60%/10%/30%.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área de triângulos com mesma altura: se dois triângulos têm vértices no mesmo ponto e bases sobre a mesma reta, a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases.
• Polígono regular "fatiado" a partir do centro: ligando o centro de um polígono regular de n lados a cada vértice, obtêm-se n triângulos isósceles congruentes, cada um valendo exatamente 100/n% da área total.
• Bissecção de uma fatia: ligar o centro ao ponto médio de um lado do polígono divide o triângulo central correspondente em duas partes de área igual (cada uma, metade da fatia original).
• Figuras semelhantes: ao cortar um triângulo por retas paralelas à base, os triângulos formados a partir do vértice são semelhantes entre si, e a área cresce com o quadrado da razão de semelhança — não de forma linear.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "60% de carboidratos, 10% de proteínas e 30% de gorduras" → as três regiões devem fechar 100%, numa razão 6 : 1 : 3.
• Evidência 2: "desde que o polígono seja dividido em regiões cujas áreas sejam proporcionais às porcentagens mencionadas" → o critério de escolha é estritamente a área, nunca o aspecto visual.
• Evidência 3 (da figura): cada polígono traz tracinhos de igualdade nos segmentos internos — são essas marcas que permitem calcular a área real de cada pedaço, e não uma estimativa visual.
• Síntese: a tarefa é "traduzir" cada uma das cinco figuras em frações exatas da área total (usando as marcas dadas) e verificar qual delas produz exatamente 60%, 10% e 30%.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Testando o triângulo equilátero

O lado do triângulo está dividido em 3 partes iguais (mesmo tracinho repetido três vezes), com retas paralelas à base passando por esses pontos, criando as faixas Proteínas (topo), Gorduras (meio) e Carboidratos (base). Quando um triângulo é cortado por paralelas à base em alturas igualmente espaçadas, os triângulos "acumulados" a partir do vértice são semelhantes, com razão de semelhança 1 : 2 : 3. Como a área de figuras semelhantes cresce com o quadrado da razão, as áreas acumuladas ficam na razão 1² : 2² : 3² = 1 : 4 : 9. Cada faixa isolada é a diferença entre acumulados consecutivos: Proteínas = 1, Gorduras = 4−1 = 3, Carboidratos = 9−4 = 5. Total = 9 partes, logo Proteínas ≈ 11,1%, Gorduras ≈ 33,3%, Carboidratos ≈ 55,6%. Repare na armadilha: 55,6% parece perto de 60%, mas não é igual — o triângulo não serve.

Subpasso 4.2 — Testando o losango

A diagonal maior (vertical) separa o losango em Carboidratos (metade esquerda) e o restante. Qualquer diagonal de um losango o divide em dois triângulos de área exatamente igual — logo Carboidratos já é forçado a valer 50%, nunca 60%. As marcas duplas (‖) mostram que essa diagonal é cortada exatamente ao meio pelo segmento que separa Proteínas de Gorduras; como os dois triângulos resultantes compartilham a mesma altura e têm bases iguais, suas áreas também são iguais: 25% cada. Resultado real do losango: 50% / 25% / 25% — não corresponde a 60%/10%/30%.

Subpasso 4.3 — Testando o pentágono regular

Ligando o centro do pentágono regular a cada um dos 5 vértices, obtêm-se 5 triângulos isósceles congruentes, cada um valendo exatamente 100% ÷ 5 = 20% da área total — os tracinhos simples nos segmentos que partem do centro confirmam que são raios (todos do mesmo comprimento), exatamente como esse modelo exige. Basta montar as porcentagens com fatias de 20%:

• Carboidratos = 3 fatias inteiras = 3 × 20% = 60%
• A 4ª fatia é cortada ao meio (o centro é ligado ao ponto médio de um lado do pentágono): metade dela = 10%, exatamente Proteínas
• A outra metade dessa fatia (10%) somada à 5ª fatia inteira (20%) forma Gorduras: 10% + 20% = 30%

Conferência: 60% + 10% + 30% = 100%. As três porcentagens batem exatamente.

Subpasso 4.4 — Descartando hexágono e octógono pela mesma lógica, e verificação final

No hexágono regular, a fatia-base é 100% ÷ 6 ≈ 16,67% (metade ≈ 8,33%). Nenhuma soma de fatias inteiras ou meias-fatias fecha 60% (3 fatias = 50%; 4 fatias ≈ 66,7%) nem 10%. No octógono regular, a fatia-base é 100% ÷ 8 = 12,5% (metade = 6,25%): 60% exigiria 4,8 fatias e 10% exigiria 1,6 meia-fatia — nenhum é número inteiro de peças. Só o pentágono tem uma fatia-base (20%) que é, ao mesmo tempo, submúltiplo exato de 60% e o dobro exato de 10%. Repetindo esse raciocínio nas cinco figuras, apenas o pentágono regular fecha exatamente em 60% / 10% / 30%, confirmando a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) triângulo.

❌ Incorreta: dividido em faixas de altura igual, gera áreas na razão 1 : 3 : 5 (≈ 11,1% / 33,3% / 55,6%), não 10% / 30% / 60%. A base "parece" ter 60%, mas matematicamente vale só ≈ 55,6% — a semelhança de triângulos (razão ao quadrado) é ignorada por quem responde "no olho".

B) losango.

❌ Incorreta: toda diagonal de losango o divide ao meio, forçando Carboidratos a valer exatamente 50% — nunca 60%. A bissecção seguinte gera duas partes iguais de 25% cada, resultando em 50%/25%/25%, não 60%/10%/30%.

C) pentágono.

✅ Correta: dividido a partir do centro em 5 triângulos congruentes de 20% cada, é o único polígono da lista cuja fatia-base permite montar exatamente 60% (3 fatias inteiras), 10% (meia fatia) e 30% (meia fatia + 1 fatia inteira).

D) hexágono.

❌ Incorreta: a fatia-base é 100% ÷ 6 ≈ 16,67%; nem 60% nem 10% resultam de uma combinação inteira de fatias ou meias-fatias dessa fração — a divisão mostrada produz outras porcentagens, não 60/10/30.

E) octógono.

❌ Incorreta: a fatia-base é 100% ÷ 8 = 12,5%; 60% exigiria 4,8 fatias e 10% exigiria 1,6 meia-fatia, valores não inteiros — essa divisão também não fecha em 60%/10%/30%.

🏆 Gabarito: C — o pentágono regular é o único polígono, entre os cinco propostos, em que dividir a partir do centro em fatias congruentes de 20% permite montar exatamente 60% (carboidratos), 10% (proteínas) e 30% (gorduras) usando fatias inteiras e meias-fatias.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só o pentágono tem fatia-base (20%) que é simultaneamente submúltiplo exato de 60% (3×) e o dobro exato de 10% — as demais frações-base (33,3%, 16,67%, 12,5%, e o caso particular de 25% do losango) não encaixam nas duas metas ao mesmo tempo.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar geometria plana (áreas de polígonos regulares, semelhança de triângulos) com proporcionalidade e porcentagem, exigindo que o aluno "traduza" uma figura geométrica em frações antes de comparar números.
• Generalização: para dividir um polígono regular de n lados em regiões proporcionais a uma porcentagem p%, verifique se a fatia central 100/n% (e suas metades) permitem montar p% somando peças inteiras e/ou meias-peças; se não permitir, aquele polígono está descartado, não importa quão bonito o desenho pareça.
• Dica de eliminação rápida: descarte de cara qualquer figura em que a maior região seja forçada por simetria a valer exatamente 50% (caso clássico do losango, cortado por uma diagonal) — ela jamais poderá valer 60%. Da mesma forma, desconfie de figuras cuja fração-base (100/n%) não seja um divisor "redondo" de 10, como acontece no hexágono e no octógono.
• Conexões: razão entre áreas de figuras semelhantes (razão de semelhança ao quadrado) e divisão de polígonos regulares em triângulos centrais são ideias que reaparecem em questões sobre mosaicos, ladrilhamento e gráficos de setores (tipo "pizza").