Questão 142 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (Espaço Amostral Equiprovável)
• ⚡ Nível: Fácil — a questão exige apenas identificar corretamente o número de casos favoráveis e aplicar a razão sobre o total, sem etapas intermediárias de combinatória.
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade clássica (Lei de Laplace) aplicada à resolução de situações-problema cotidianas envolvendo contagem.
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a chance de a senha sorteada, entre 100 senhas numeradas de 1 a 100, ser um dos números de 1 a 20."
• Palavras-chave decisivas: numeradas de 1 até 100, sorteada ao acaso, de 1 a 20
• Armadilha típica: errar a contagem de quantos números inteiros existem entre 1 e 20 — muitos alunos calculam 20 − 1 = 19 (esquecendo de incluir o próprio número 1 na contagem) ou somam um número a mais e chegam a 21.
• O que a resposta precisa demonstrar: reconhecimento de que o experimento é equiprovável (cada senha tem a mesma chance de sair) e domínio da contagem correta de inteiros consecutivos dentro de um intervalo fechado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Espaço amostral (Ω): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Aqui, Ω são os 100 números inteiros de 1 a 100.
• Evento favorável: subconjunto do espaço amostral que interessa ao problema — neste caso, os números de 1 a 20, ou seja, {1, 2, 3, ..., 20}.
• Lei de Laplace: em um espaço amostral finito e equiprovável, a probabilidade de um evento A é P(A) = n(A) / n(Ω), com n(A) = casos favoráveis e n(Ω) = casos possíveis.
• Contagem de inteiros consecutivos em intervalo fechado: a quantidade de inteiros entre a e b, incluindo ambos os extremos, é sempre (b − a + 1). É esse detalhe que separa a resposta certa das armadilhas do enunciado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100" → define o espaço amostral: 100 elementos distintos, cada um representando uma senha possível.
• Evidência 2: "Uma das senhas é sorteada ao acaso" → garante que o sorteio é equiprovável, ou seja, todas as 100 senhas têm exatamente a mesma chance individual (1/100 cada). Essa condição autoriza aplicar diretamente a Lei de Laplace.
• Evidência 3: "a senha sorteada ser um número de 1 a 20" → delimita o evento de interesse como o intervalo fechado [1, 20], isto é, todos os inteiros desde 1 até 20, incluindo ambos.
• Síntese: o problema se resolve contando quantos números existem no intervalo [1, 20] (numerador) e dividindo pelo total de 100 senhas (denominador), aplicando P(A) = n(A) / n(Ω).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar o espaço amostral

O experimento consiste em sortear uma senha entre as cem disponíveis, numeradas de 1 a 100. Como cada senha tem a mesma chance de ser sorteada:

n(Ω) = 100

Subpasso 4.2 — Determinar o número de casos favoráveis

O evento de interesse é "a senha sorteada ser um número de 1 a 20", ou seja, contar quantos inteiros existem entre 1 e 20, incluindo os dois extremos: 1, 2, 3, ..., 19, 20.

Usando a fórmula de contagem de inteiros consecutivos em intervalo fechado, (b − a + 1):

n(A) = 20 − 1 + 1 = 20

Subpasso 4.3 — Aplicar a Lei de Laplace e verificar

P(A) = n(A) / n(Ω) = 20/100

O resultado 20/100 corresponde exatamente à alternativa C. Confirmação de sanidade: 20/100 = 1/5 = 20%, coerente com o fato de o intervalo de 1 a 20 representar um quinto de todo o intervalo de 1 a 100.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1/100

❌ Incorreta: seria a probabilidade de sair uma senha específica e única (por exemplo, só o número 20), não o conjunto de 20 números do intervalo de 1 a 20. Ignora que o evento engloba vários resultados favoráveis.

B) 19/100

❌ Incorreta: erro clássico de contagem de intervalo fechado. Ocorre ao calcular 20 − 1 = 19, subtraindo os extremos sem somar 1, o que exclui indevidamente um número da contagem. O correto é (20 − 1 + 1) = 20.

C) 20/100

✅ Correta: razão entre os 20 casos favoráveis (números de 1 a 20, contados com a fórmula b − a + 1) e os 100 casos possíveis, aplicando corretamente a Lei de Laplace.

D) 21/100

❌ Incorreta: erro de contagem oposto ao da alternativa B. Surge ao contar um número a mais do que o devido — por exemplo, tratando o intervalo como se fosse de 0 a 20 (21 valores).

E) 80/100

❌ Incorreta: é a probabilidade do evento complementar, ou seja, a chance de a senha NÃO estar entre 1 e 20 (estar entre 21 e 100, que soma 80 números). Confunde o evento pedido com seu complementar.

🏆 Gabarito: C — a probabilidade é 20/100, pois há exatamente 20 números inteiros no intervalo fechado de 1 a 20 (casos favoráveis) sobre um total de 100 senhas equiprováveis (casos possíveis).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra C é a única alternativa que representa corretamente a razão entre os 20 casos favoráveis do intervalo [1, 20] e os 100 casos possíveis, aplicando a Lei de Laplace sem erros de contagem.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra probabilidade em espaços equiprováveis com frequência, em contextos simples e diretos (sorteios, urnas, cartões numerados, loterias), avaliando sobretudo a leitura cuidadosa do enunciado e a contagem correta de elementos.
• Generalização: sempre que o evento envolver um intervalo de inteiros "de a até b" (incluindo ambos os extremos), a quantidade de elementos favoráveis é (b − a + 1). Esqueça esse "+1" e você erra mesmo entendendo o conceito de probabilidade.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente a proporção esperada — o intervalo de 1 a 20 é um quinto do total de 1 a 100, logo a resposta deve equivaler a 20% (1/5). Isso já elimina 1/100 (baixa demais) e 80/100 (é o complementar).
• Conexões: probabilidade de evento complementar (P(A) + P(não A) = 1) e progressões aritméticas simples, cuja contagem de termos usa a mesma lógica do "b − a + 1".