Questão 164 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Arranjo Simples)
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está na conta em si, mas em identificar o modelo correto de contagem (arranjo, e não combinação) a partir da leitura cuidadosa da figura.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de agrupamentos ordenados aplicada a uma situação real de distribuição de pessoas em posições distintas.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quantas maneiras diferentes é possível distribuir 7 pessoas distintas entre as poltronas vagas de um avião?"
• Palavras-chave decisivas: sete pessoas adultas, poltronas disponíveis, formas distintas de se acomodar
• Armadilha típica: tratar o problema como se fosse "escolher quais poltronas usar" (combinação, sem se importar com quem senta onde), quando na verdade cada pessoa é diferente e trocar duas delas de lugar já gera uma acomodação nova. Outro erro comum é contar errado o número de poltronas vagas na figura.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o aluno sabe (1) extrair da figura o número exato de assentos livres e (2) reconhecer que pessoas distintas em poltronas distintas exigem arranjo simples, não combinação nem permutação pura.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Arranjo simples: agrupamento ordenado de p elementos escolhidos entre n elementos distintos, no qual a posição de cada elemento importa. Fórmula: A(n,p) = n!/(n−p)!.
• Combinação simples: agrupamento em que a ordem/identidade da posição NÃO importa (por exemplo, escolher um subconjunto de itens). Fórmula: C(n,p) = n!/[p!(n−p)!]. Não se aplica aqui, pois cada poltrona é um lugar fisicamente único do avião.
• Princípio fundamental da contagem: a primeira pessoa tem n poltronas para escolher, a segunda tem n−1 opções restantes, a terceira n−2, e assim sucessivamente — esse produto decrescente é exatamente o que gera a fórmula do arranjo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "família composta por sete pessoas adultas" → define p = 7 elementos distintos a serem posicionados (cada pessoa é única, ninguém é intercambiável).
• Evidência 2: "as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco" → é preciso contar, quadrado a quadrado, os assentos em branco no mapa da aeronave. Percorrendo a figura, o bloco de 5 colunas à esquerda está completamente ocupado (só há X); todas as poltronas livres estão no bloco maior da direita, distribuídas assim: 1 na 1ª fileira, 2 na 2ª, 1 na 3ª, 2 na 4ª, 1 na 5ª e 2 na 6ª fileira, totalizando 9 poltronas vagas.
• Síntese: com n = 9 poltronas livres e p = 7 pessoas distintas a acomodar, cada uma ocupando uma poltrona diferente, o problema pede exatamente o número de arranjos simples de 9 elementos tomados 7 a 7.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar as poltronas disponíveis na figura

Observando o mapa de assentos linha por linha: o bloco esquerdo (5 colunas × 6 fileiras) aparece 100% marcado com X, ou seja, zero vagas ali. Todas as poltronas em branco estão no bloco direito (10 colunas × 6 fileiras):

• Cabine dianteira: fileira 1 → 1 vaga; fileira 2 → 2 vagas; fileira 3 → 1 vaga (subtotal = 4)
• Cabine traseira: fileira 4 → 2 vagas; fileira 5 → 1 vaga; fileira 6 → 2 vagas (subtotal = 5)

Total de poltronas disponíveis: 4 + 5 = 9 poltronas (n = 9).

Subpasso 4.2 — Escolher o modelo de contagem correto

É preciso posicionar 7 pessoas distintas nessas 9 poltronas distintas, uma pessoa por poltrona, sem repetição. Como trocar duas pessoas de lugar produz uma acomodação diferente (a posição de cada uma importa), o número de possibilidades é um arranjo simples de 9 elementos tomados 7 a 7:

A(9,7) = 9! / (9 − 7)! = 9!/2!

Confirmando pelo princípio multiplicativo: a 1ª pessoa escolhe entre 9 poltronas, a 2ª entre 8 restantes, a 3ª entre 7, a 4ª entre 6, a 5ª entre 5, a 6ª entre 4 e a 7ª entre 3 poltronas ainda livres:

9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 9!/2!

(o denominador 2! aparece porque os dois últimos fatores do fatorial completo, 2 × 1, não chegam a ser usados — sobram exatamente 2 poltronas vazias, já que 9 − 7 = 2).

Subpasso 4.3 — Verificação

A expressão obtida, 9!/2!, coincide exatamente com a alternativa A. Vale conferir que ela é diferente de 9! (que ignoraria a sobra de poltronas) e diferente de C(9,7) = 9!/(7!×2!) (que ignoraria a distinção entre as pessoas). O raciocínio converge de forma consistente para o resultado esperado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 9!/2!

✅ Correta: é exatamente A(9,7) = 9!/(9−7)!, o arranjo simples de 9 poltronas distintas tomadas 7 a 7. Esse é o modelo certo porque tanto as pessoas quanto as poltronas são todas distinguíveis entre si, e sobram poltronas vazias (2) que não afetam a contagem das ocupadas.

B) 9!/(7!×2!)

❌ Incorreta: essa é a fórmula da combinação C(9,7), usada quando a ordem/identidade de quem ocupa cada posição não importa — por exemplo, se a pergunta fosse apenas "quais 7 das 9 poltronas ficarão ocupadas", sem dizer quem senta em cada uma. Como as pessoas da família são diferentes entre si e cada poltrona é um lugar específico do avião, essa fórmula subconta drasticamente as possibilidades reais.

C) 7!

❌ Incorreta: 7! seria correto se existissem exatamente 7 poltronas disponíveis (nenhuma sobrando), pois aí bastaria permutar as 7 pessoas entre as 7 vagas. Essa alternativa ignora que a figura mostra 9 poltronas livres, e portanto desconsidera as diferentes combinações de quais 2 poltronas permanecerão vazias.

D) (5!/2!)×4!

❌ Incorreta: combina fatoriais (5, 2 e 4) que não correspondem a nenhuma quantidade relevante do problema — nem ao total de poltronas livres (9), nem ao número de pessoas (7). É uma montagem numérica sem lastro no raciocínio combinatório da situação.

E) (5!/4!)×(4!/3!)

❌ Incorreta: mesmo problema da alternativa D — o resultado numérico (5 × 4 = 20) é muito pequeno e não guarda relação alguma com as 9 poltronas disponíveis nem com as 7 pessoas a acomodar; não representa nenhuma etapa válida da resolução.

🏆 Gabarito: A — Como há 9 poltronas livres para acomodar 7 pessoas distintas, cada uma ocupando uma posição única, o total de acomodações possíveis é o arranjo simples A(9,7) = 9!/2!.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A alternativa A é a única que expressa corretamente A(9,7) = 9!/(9−7)! = 9!/2!, coerente com as 9 poltronas livres identificadas na figura e as 7 pessoas distintas a posicionar.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente o arranjo simples disfarçado de situações do cotidiano — "de quantas formas posso organizar/distribuir/posicionar elementos distintos em posições distintas" — envolvendo assentos, filas, pódios, senhas ou placas.
• Generalização: sempre que os elementos a posicionar forem distintos E as posições disponíveis também forem distintas, e o número de posições for maior que o de elementos, use arranjo A(n,p) = n!/(n−p)!; a combinação só entra em jogo quando a ordem ou a identidade da posição deixa de importar.
• Dica de eliminação rápida: identifique primeiro n (posições disponíveis, contando a figura com atenção) e p (elementos a posicionar); monte n!/(n−p)! e compare com as alternativas — isso já descarta de cara fórmulas com fatoriais soltos e sem relação com os dados (como D e E) e evita a troca clássica entre arranjo e combinação (B) ou o esquecimento das poltronas sobrando (C).
• Conexões: permutação simples (caso particular do arranjo quando n = p), combinação simples (quando a ordem não importa) e o princípio fundamental da contagem, base de todas essas fórmulas.