Questão 165 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (área de setor circular) e resolução de inequações
• ⚡ Nível: Médio — exige compor a área de três setores circulares, montar uma inequação do 2º grau e aplicar corretamente a restrição de número natural sobre o resultado.
• 🎯 Tema/Habilidade: Área de setor circular aplicada a um problema de otimização geométrica com restrição de domínio (números naturais)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre o maior número natural R que faz a área da piscina (três setores circulares de 60°) ficar menor que a área da piscina retangular de 50 m × 24 m, usando π ≈ 3,0."
• Palavras-chave decisivas: número natural, menor que, maior valor possível
• Armadilha típica: resolver corretamente a desigualdade e chegar a R < 28,28..., mas arredondar para o inteiro mais próximo (29) em vez de tomar o maior natural estritamente menor que esse valor — o que viola a condição "menor que" do enunciado.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da fórmula de área de setor circular, capacidade de somar áreas de figuras congruentes, montagem e resolução de uma inequação do 2º grau, e aplicação correta da restrição "R é natural" sobre a solução da desigualdade.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área de um setor circular: A_setor = (θ/360°) × π R², em que θ é o ângulo central em graus e R o raio da circunferência.
• Soma de figuras congruentes: quando uma figura é formada por n partes idênticas, sua área total é n vezes a área de uma única parte.
• Área do retângulo: A = base × altura — aqui, a área de referência fixa que a nova piscina não pode ultrapassar.
• Inequação do 2º grau reduzida: ao isolar R² em uma expressão do tipo R² < k, a solução (para R positivo, já que é um comprimento) é 0 < R < √k; como R deve ser natural, interessa o maior inteiro estritamente menor que √k.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°" → a piscina é formada por 3 × 60° = 180° de arco no total; a soma das três "fatias" tem a mesma área de um semicírculo de raio R.
• Evidência 2: "piscina em formato retangular com dimensões 50 m × 24 m" → área de referência fixa: 50 × 24 = 1200 m².
• Evidência 3: "a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente" → desigualdade estrita: Área_nova < 1200.
• Evidência 4: "Considere 3,0 como aproximação para π" e "o raio R deve ser um número natural" → usar π = 3 na fórmula e, ao final, escolher o maior R inteiro que satisfaça a desigualdade.
• Síntese: o caminho de resolução é (1) escrever a área da piscina em função de R usando π = 3, (2) montar a inequação Área(R) < 1200, (3) resolver para R e (4) selecionar o maior número natural que cumpre essa condição.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área da piscina em função de R

Cada setor tem ângulo central de 60°, logo sua área é:

A₁ = (60°/360°) × π R² = (1/6) π R²

Como a piscina é formada por 3 setores idênticos:

A_total = 3 × (1/6) π R² = (1/2) π R²

Substituindo π ≈ 3,0:

A_total = (1/2) × 3 × R² = 1,5 R²

(Faz sentido geometricamente: 3 setores de 60° somam 180°, ou seja, a piscina nova equivale, em área, a um semicírculo de raio R.)

Subpasso 4.2 — Montagem e resolução da inequação

Área da piscina retangular já existente: 50 × 24 = 1200 m².

A condição do enunciado exige:

1,5 R² < 1200

R² < 1200 ÷ 1,5

R² < 800

R < √800

Subpasso 4.3 — Verificação

√800 = √(400 × 2) = 20√2 ≈ 20 × 1,4142 ≈ 28,28

Como R deve ser um número natural e R < 28,28:

• R = 28 → A = 1,5 × 28² = 1,5 × 784 = 1176 m² < 1200 m² ✅ (satisfaz a condição)
• R = 29 → A = 1,5 × 29² = 1,5 × 841 = 1261,5 m² > 1200 m² ❌ (ultrapassa a piscina existente)

Logo, o maior valor natural possível para R é 28, confirmando a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 16.

❌ Incorreta: resulta de uma "dupla contagem" dos três setores. O estudante divide a área-limite (1200) por 3 antes de aplicar o coeficiente 1,5 — como se cada setor precisasse, isoladamente, ocupar 1/3 da área do retângulo — chegando a R² < 1200/(3×1,5) ≈ 266,7 e R < 16,3. O erro está em não perceber que o coeficiente 1,5 já representa a soma das áreas dos três setores.

B) 28.

✅ Correta: é o maior número natural que satisfaz 1,5R² < 1200, como demonstrado no Passo 4 — R = 28 gera 1176 m² (menor que 1200 m²), enquanto R = 29 já ultrapassa o limite.

C) 29.

❌ Incorreta: é o erro mais comum da questão. O candidato resolve a inequação corretamente até R < 28,28..., mas arredonda para o número natural mais próximo (29) em vez de tomar o maior natural estritamente menor que 28,28. Como a condição do enunciado é "menor que" (desigualdade estrita), R = 29 não é válido: ele gera área de 1261,5 m², maior que a piscina retangular.

D) 31.

❌ Incorreta: costuma vir de um erro no cálculo da área de referência do retângulo — ao operar apressadamente com 50 × 24 (ou confundir uma das dimensões), o estudante chega a um valor superestimado, como 1500 m², em vez de 1200 m². Refazendo a inequação com esse valor errado: R² < 1500 ÷ 1,5 = 1000, R < 31,6, o que leva a R = 31. O erro está na leitura/operação dos dados do enunciado, não na estrutura da fórmula de área do setor.

E) 49.

❌ Incorreta: surge de esquecer que a piscina é formada por três setores — o estudante usa a área de apenas um setor, (1/6)πR² = 0,5R², como se fosse a área total da piscina. Com 0,5R² < 1200, obtém-se R² < 2400 e R < 48,99; arredondando incorretamente para cima em vez de tomar o piso do valor, chega-se a R = 49. Esse erro combina uma falha conceitual (esquecer a multiplicação pelos três setores) com uma falha de arredondamento.

🏆 Gabarito: B — R = 28 é o maior número natural que mantém a área da piscina de três setores circulares (1,5R², com π = 3) estritamente menor que os 1200 m² da piscina retangular já existente.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas R = 28 satisfaz simultaneamente as três condições do enunciado — ser número natural, gerar área menor que 1200 m² e ser o maior valor possível nessas condições; R = 29 já viola a desigualdade estrita.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra área de setores circulares em contextos aplicados (piscinas, jardins, fatias de pizza, terrenos), quase sempre pedindo para comparar com outra figura geométrica e resolver uma inequação — testando se o candidato entende que a resposta final costuma ser restrita a um número inteiro ou natural.
• Generalização: sempre que o problema envolver múltiplos setores idênticos, verifique primeiro se a soma dos ângulos centrais simplifica a figura (aqui, 3 × 60° = 180° = meio círculo); isso evita erros de fórmula e agiliza os cálculos.
• Dica de eliminação rápida: quando a inequação resultar em um valor não inteiro (como √800 ≈ 28,28), o gabarito quase sempre é o inteiro imediatamente ABAIXO desse valor, nunca o mais próximo por arredondamento comum — isso já elimina de cara as alternativas "vizinhas por cima", como o 29 nesta questão.
• Conexões: temas relacionados incluem comprimento de arco de circunferência, área de coroa circular e problemas de otimização com inequações do 2º grau aplicadas a contextos geométricos do cotidiano.