Questão 172 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica (localização de pontos no plano cartesiano ao longo de um trajeto poligonal)
• ⚡ Nível: Médio — exige interpretar corretamente a figura (ruas de mão única) e perceber que a "distância percorrida" não é a distância em linha reta entre P e Q, mas a soma dos trechos retos do trajeto.
• 🎯 Tema/Habilidade: Coordenadas cartesianas aplicadas a um trajeto real; competência de resolver problemas geométricos contextualizados (Área de Matemática e suas Tecnologias, ENEM).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Ache o ponto T sobre o trajeto do ônibus, entre P e Q, tal que a distância rodada de P até T seja igual à distância rodada de T até Q."
• Palavras-chave decisivas: percurso, distâncias percorridas... iguais, entre os pontos já existentes
• Armadilha típica: aplicar direto a fórmula do ponto médio entre P e Q como se o trajeto fosse um único segmento de reta, ou tratar o valor da metade do percurso (410) como se já fosse a coordenada x de T, esquecendo de somar à posição inicial de P.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de somar corretamente os trechos retos (horizontais e verticais) do percurso, dividir o total por dois e "caminhar" essa distância a partir de P, respeitando o sentido das ruas de mão única.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Trajeto poligonal em malha urbana: quando as ruas são perpendiculares entre si (como um "L"), o caminho de um ponto a outro é a soma dos trechos retos percorridos, e não a distância euclidiana (linha reta) entre os pontos.
• Distância ao longo de um eixo coordenado: se um trecho do percurso é paralelo ao eixo x (ou y), sua extensão é simplesmente a diferença entre as coordenadas x (ou y) de início e fim daquele trecho.
• Localização de um ponto a certa distância ao longo de um percurso: para achar o ponto que fica a uma fração do comprimento total do trajeto, soma-se o comprimento de cada trecho na ordem percorrida e verifica-se em qual trecho essa fração efetivamente "cai", ajustando a coordenada correspondente.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a figura mostra o percurso, indicado pelas setas... e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q" → pela figura, P = (30, 20) está sobre a Rua A (sentido leste, para a direita) e Q = (550, 320) está no cruzamento da Rua B (sentido norte, para cima) com a Rua C.
• Evidência 2: "as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais" → T deve estar sobre o próprio trajeto (não fora dele), exatamente no ponto que divide o comprimento total rodado entre P e Q em duas partes iguais.
• Síntese: como o ônibus não pode "cortar caminho" (as ruas são de mão única), o trajeto de P a Q é formado por dois trechos retos perpendiculares — primeiro a Rua A, depois a Rua B — e é a soma desses dois trechos que deve ser dividida ao meio para localizar T.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar as coordenadas-chave na figura

Pela figura: P = (30, 20), sobre a Rua A (via horizontal, sentido crescente de x, indicada pelas setas "→"). A Rua B é a via vertical em x = 550, percorrida no sentido crescente de y (setas "↑"). O cruzamento da Rua A com a Rua B ocorre, portanto, em (550, 20). A Rua C é a via horizontal no topo, percorrida no sentido decrescente de x. Q está no cruzamento da Rua B com a Rua C, em (550, 320).

Subpasso 4.2 — Calcular o comprimento de cada trecho do percurso entre P e Q

Trecho 1 (Rua A, de P até o cruzamento com a Rua B):

d₁ = 550 − 30 = 520 unidades.

Trecho 2 (Rua B, do cruzamento até Q):

d₂ = 320 − 20 = 300 unidades.

Distância total percorrida pelo ônibus entre P e Q:

d = d₁ + d₂ = 520 + 300 = 820 unidades.

Subpasso 4.3 — Localizar o ponto T que divide o percurso ao meio

Como PT deve ser igual a TQ:

PT = TQ = d ÷ 2 = 820 ÷ 2 = 410 unidades.

Comparando 410 com o comprimento do primeiro trecho (d₁ = 520): como 410 < 520, o ponto T ainda está dentro da Rua A — o ônibus nem chega a alcançar o cruzamento com a Rua B ao completar metade do trajeto.

Como a Rua A é percorrida no sentido crescente de x, a partir de P (mantendo y = 20 constante):

x_T = x_P + 410 = 30 + 410 = 440

y_T = 20

Logo, T = (440, 20).

Subpasso 4.4 — Verificação

Distância de T até Q pelo percurso = (550 − 440) [restante da Rua A] + 300 [Rua B inteira] = 110 + 300 = 410 unidades.

Como PT = 410 e TQ = 410, as duas distâncias são de fato iguais. ✓ O ponto T = (440, 20) confere com a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) (290 ; 20)

❌ Incorreta: 290 corresponde a P + metade da Rua A isoladamente (30 + 520÷2 = 290), como se o percurso total entre P e Q fosse apenas a Rua A, ignorando completamente o trecho da Rua B (300 unidades) que também compõe o trajeto até Q.

B) (410 ; 0)

❌ Incorreta: além de misturar o valor 410 (que é a distância percorrida até T, não uma coordenada por si só) com a posição em x sem somar ao ponto de partida, essa alternativa erra também o y: T está sobre a Rua A, cuja altura é y = 20, e não y = 0.

C) (410 ; 20)

❌ Incorreta: é o erro mais tentador — usar diretamente o valor da metade do percurso (410) como coordenada x, esquecendo de somar à posição inicial de P (x_P = 30). Esse resultado só estaria certo se o trajeto começasse na origem (x = 0), o que não é o caso.

D) (440 ; 0)

❌ Incorreta: acerta corretamente o deslocamento em x (440 = 30 + 410), mas erra a coordenada y ao colocar 0 em vez de 20 — T continua sobre a Rua A, que está na altura y = 20, e não sobre o eixo x.

E) (440 ; 20)

✅ Correta: reúne os dois acertos — o deslocamento de 410 unidades somado corretamente à posição inicial de P (30 + 410 = 440) e a manutenção da altura y = 20, pois T ainda está sobre a Rua A, sem ter alcançado o cruzamento com a Rua B.

🏆 Gabarito: E — T = (440, 20) é o único ponto que respeita simultaneamente o comprimento total do percurso (820 unidades, dividido em 410 + 410) e a posição real de T sobre a Rua A, na mesma altura y = 20 de P.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa E respeita ao mesmo tempo o comprimento correto do trajeto (soma dos dois trechos perpendiculares, e não a distância em linha reta) e a rua em que T efetivamente se localiza.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de contextualizar geometria analítica em mapas e trajetos urbanos (ruas de mão única, rotas de ônibus, entregas), forçando o estudante a diferenciar "distância percorrida ao longo de um caminho" de "distância em linha reta entre dois pontos" (que seria calculada pela fórmula √[(Δx)² + (Δy)²]).
• Generalização: em qualquer problema de trajeto poligonal formado por segmentos horizontais e verticais, calcule o comprimento de cada trecho separadamente, some tudo e "ande" essa soma (ou a fração pedida) a partir do ponto de partida, sempre conferindo em qual trecho o valor procurado efetivamente cai antes de fixar as coordenadas finais.
• Dica de eliminação rápida: primeiro, descarte qualquer alternativa cujo y não seja compatível com a rua onde o ponto realmente está (aqui, y = 20, o que já elimina B e D); em seguida, verifique se o deslocamento foi somado à coordenada inicial de P e não apenas igualado à metade do percurso (o que elimina C).
• Conexões: fórmula da distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento de reta, problemas de otimização de rotas e leitura de mapas com coordenadas cartesianas.