Questão 175 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica (elipse/elipsoide) e tradução de linguagem natural em equação algébrica
• ⚡ Nível: Médio — a conta final é simples, mas exige montar corretamente a equação a partir de um texto que mistura "comprimento" (medida total) com "a" e "b" (que já são metades)
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem algébrica de uma grandeza geométrica (elipsoide de revolução) a partir de uma condição verbal, com substituição em fórmula dada
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Transforme a frase sobre os comprimentos da bola em uma equação, isole a em função de b e substitua na fórmula V = 4ab² para obter o volume só em função de b."
• Palavras-chave decisivas: metade, diferença, em função apenas de b
• Armadilha típica: confundir os comprimentos (horizontal = 2a e vertical = 2b) com as próprias letras a e b, que o enunciado já define como as metades desses comprimentos. Quem ignora esse detalhe monta a equação errada e chega em outra alternativa.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir uma sentença em português para uma equação matemática correta e depois fazer uma substituição algébrica limpa, sem perder o "2" que aparece ao dobrar a e b para obter os comprimentos totais.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Elipse e elipsoide de revolução: uma elipse centrada na origem tem eixo maior 2a (eixo x) e eixo menor 2b (eixo y). Girando-a em torno do eixo das abscissas obtém-se o elipsoide de revolução — exatamente o formato da bola da figura.
• Tradução de linguagem natural em equação: "a diferença entre X e Y é igual à metade de Z" vira X − Y = (1/2)·Z. Aqui, X é o comprimento horizontal (2a), Y é o vertical (2b) e Z também é o vertical (2b).
• Substituição em fórmula e simplificação algébrica: depois de isolar a em função de b, basta substituir em V = 4ab² e simplificar, mantendo o resultado só em b.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "os valores a e b são, respectivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical" → isso mostra que o comprimento horizontal total da bola é 2a e o comprimento vertical total é 2b — não são a e b diretamente.
• Evidência 2: "a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical" → fornece a equação-chave da questão: 2a − 2b = ½·(2b), ou seja, 2a − 2b = b.
• Síntese: juntando as duas evidências, o caminho é resolver essa equação para escrever a em função de b e, em seguida, inserir esse valor na fórmula V = 4ab², eliminando completamente a variável a e deixando o volume só em função de b, como pede o enunciado.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando os comprimentos totais e a equação

Como a é a metade do comprimento horizontal e b é a metade do comprimento vertical, os comprimentos totais da bola são:

• Comprimento horizontal = 2a
• Comprimento vertical = 2b

A condição do enunciado diz que a diferença entre esses dois comprimentos é igual à metade do comprimento vertical:

2a − 2b = ½ · (2b)

Como ½ · (2b) = b, a equação fica:

2a − 2b = b

Subpasso 4.2 — Isolando a em função de b

Passando −2b para o outro lado:

2a = b + 2b

2a = 3b

a = 3b/2

Ou seja, a vale uma vez e meia o valor de b — o que faz sentido fisicamente, já que uma bola de futebol americano é bem mais alongada na horizontal do que na vertical.

Subpasso 4.3 — Verificação: substituindo na fórmula do volume

A fórmula fornecida é V = 4ab². Substituindo a = 3b/2:

V = 4 · (3b/2) · b²

V = (12b/2) · b²

V = 6b · b²

V = 6b³

O volume da bola, em função apenas de b, é V = 6b³, o que corresponde exatamente à alternativa B. A verificação por análise dimensional também confere: volume é uma grandeza de terceira potência de comprimento, e b³ mantém essa coerência.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 8b³

❌ Incorreta: troca a referência da "metade" — usa metade do comprimento horizontal em vez do vertical: 2a − 2b = a → a = 2b. Substituindo: V = 4·(2b)·b² = 8b³. Erro: inverter qual comprimento está sendo "partido ao meio".

B) 6b³

✅ Correta: resultado exato ao traduzir a condição verbal (2a − 2b = b), isolar a = 3b/2 e substituir em V = 4ab², como no Passo 4.

C) 5b³

❌ Incorreta: confunde "metade do comprimento vertical" com "metade de b" — como se b (já metade do comprimento vertical) fosse dividido por 2 de novo: 2a − 2b = b/2 → a = 5b/4. Substituindo: V = 4·(5b/4)·b² = 5b³. Erro: "dobrar" indevidamente a operação de metade.

D) 4b³

❌ Incorreta: ignora a condição extra do enunciado e assume a = b, como se a bola fosse quase uma esfera. Substituindo: V = 4b·b² = 4b³. É o erro mais comum, por "esquecer" a informação sobre a diferença entre os comprimentos.

E) 2b³

❌ Incorreta: inverte a ordem da subtração, tratando o comprimento vertical como maior que o horizontal: 2b − 2a = b → a = b/2. Substituindo: V = 4·(b/2)·b² = 2b³. Erro: contraria a própria figura, em que a bola é alongada na horizontal.

🏆 Gabarito: B — a equação correta, 2a − 2b = b, leva a a = 3b/2, e substituindo esse valor em V = 4ab² obtém-se V = 6b³, a única alternativa compatível com a tradução fiel do enunciado.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a = 3b/2 satisfaz, ao mesmo tempo, a definição de a e b como metades dos comprimentos e a condição "diferença = metade do vertical"; qualquer outra manipulação altera o texto e leva a um valor incorreto, logo B (6b³) é a única resposta consistente.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma dar uma fórmula pronta (aqui, V = 4ab²) e pedir que o candidato monte, a partir de um texto, uma relação entre variáveis para depois substituir e simplificar — testando leitura interpretativa tanto quanto álgebra.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "a diferença entre X e Y é igual à metade/terço/dobro de Z", escreva a equação ao lado do texto (X − Y = k·Z) antes de substituir, conferindo se as letras dadas já representam metades ou frações da grandeza citada.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas que reproduzem a fórmula "ingenuamente" (como D = 4b³, que sai de assumir a = b) — elas costumam ignorar a condição extra do enunciado.
• Conexões: conecta-se a sistemas de equações do 1º grau em contextos geométricos e a volumes de sólidos de revolução (cones, cilindros, elipsoides), temas recorrentes em "Grandezas e Medidas" no ENEM.