Questão 159 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Porcentagem, proporcionalidade e médias por subgrupo (Estatística descritiva aplicada a dados socioeconômicos)
• ⚡ Nível: Médio — não basta operar as porcentagens do texto; é preciso perceber que "percentual da renda total" e "percentual da população" são grandezas diferentes que precisam ser comparadas entre si.
• 🎯 Tema/Habilidade: Interpretação de dados estatísticos reais (Censo 2010) e cálculo de renda média por decil a partir de participações percentuais no total — Competência de Área 3, Habilidade H21 (resolver situação-problema envolvendo porcentagem).
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra quanto, em reais, uma pessoa média do grupo dos 10% mais ricos ganha a mais do que uma pessoa média do grupo dos 10% mais pobres, usando só a renda média geral e as fatias de renda de cada grupo."
• Palavras-chave decisivas: 10% mais pobres, 10% mais ricos, renda média mensal (a questão quer o valor por pessoa, não o total do grupo)
• Armadilha típica: aplicar 44,5% e 1,1% diretamente sobre R$ 1.202,00 (multiplicando sem dividir pela fatia populacional de 10%), ou confundir esses percentuais de renda com os percentuais de população — que são sempre 10% para os dois grupos.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de converter "participação no bolo total de renda" em "renda média por pessoa daquele grupo", relacionando duas porcentagens (renda do grupo ÷ população do grupo).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Renda média geral: é o total de rendimentos (T) dividido pelo total de pessoas (N). O enunciado já entrega essa razão pronta: T/N = R$ 1.202,00. Não é preciso descobrir T nem N separadamente.
• Participação percentual no total: quando o texto diz que os 10% mais pobres "correspondem a 1,1% do total", isso não é a renda média deles — é a fatia do bolo de dinheiro que esse grupo detém.
• Renda média de um subgrupo: para transformar "fatia do bolo" em "renda por pessoa", divide-se o percentual de renda do grupo pelo percentual de população desse mesmo grupo, e multiplica-se o resultado pela renda média geral: média do grupo = (% de renda do grupo ÷ % de população do grupo) × renda média geral.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a renda média mensal apurada foi de R$ 1.202,00" → fornece diretamente a razão T/N, base de todo o cálculo proporcional que segue.
• Evidência 2: "a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total" → o grupo mais pobre tem 10% da população, mas apenas 1,1% da renda.
• Evidência 3: "a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total" → o grupo mais rico também tem 10% da população, mas concentra 44,5% da renda.
• Síntese: como os dois grupos têm exatamente o mesmo tamanho populacional (10% cada), o dado de "101,8 milhões de pessoas" é contextual — não entra na conta. Basta comparar, para cada grupo, a razão entre sua fatia de renda e sua fatia de população, e aplicar essa razão sobre R$ 1.202,00.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Renda média do grupo dos 10% mais ricos

Esse grupo representa 10% da população (fração 0,10) e concentra 44,5% da renda total (fração 0,445). A razão entre a fatia de renda e a fatia de população indica quantas vezes a renda média desse grupo supera a renda média geral:

0,445 ÷ 0,10 = 4,45

Logo, renda média dos 10% mais ricos = 4,45 × R$ 1.202,00 = R$ 5.348,90

Subpasso 4.2 — Renda média do grupo dos 10% mais pobres

Esse grupo também é 10% da população (fração 0,10), mas concentra apenas 1,1% da renda (fração 0,011):

0,011 ÷ 0,10 = 0,11

Logo, renda média dos 10% mais pobres = 0,11 × R$ 1.202,00 = R$ 132,22

Subpasso 4.3 — Diferença solicitada e verificação

Diferença = R$ 5.348,90 − R$ 132,22 = R$ 5.216,68

Atalho de conferência: como as duas frações populacionais são iguais (10% e 10%), a diferença também sai direto de uma única conta:

(44,5% − 1,1%) ÷ 10% × 1.202 = 43,4% ÷ 10% × 1.202 = 4,34 × 1.202 = R$ 5.216,68 ✓

Os dois caminhos batem exatamente com a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 240,40

❌ Incorreta: resulta de ignorar os percentuais de renda (44,5% e 1,1%) e usar apenas os percentuais de população dos dois grupos somados (10% + 10% = 20%), calculando 1.202 × 0,20 = 240,40. Esse erro trata a diferença de renda como se fosse simplesmente "20% da renda média", desconsiderando por completo os dados de concentração de renda fornecidos no texto.

B) 548,11

❌ Incorreta: surge de somar as duas porcentagens de renda em vez de subtraí-las — 44,5% + 1,1% = 45,6% — e aplicar esse valor direto sobre a renda média, sem dividir pela fração populacional de 10%: 1.202 × 0,456 = 548,11. O erro conceitual é duplo: trocar subtração por soma e esquecer de normalizar pelo tamanho do grupo (10%).

C) 1.723,67

❌ Incorreta: obtida ao somar a renda média geral com a diferença percentual mal escalada, isto é, 1.202 + (43,4% × 1.202) = 1.202 + 521,67 = 1.723,67. O erro é tratar a diferença de faixas como um acréscimo sobre a média geral, em vez de calcular a renda média de cada grupo separadamente (dividindo cada percentual de renda pelos 10% de população) e só depois subtrair uma da outra.

D) 4.026,70

❌ Incorreta: mistura um procedimento certo com um errado. Para os ricos, aplica corretamente a divisão pela fração de população: 44,5% ÷ 10% = 4,45, chegando a 4,45 × 1.202 = 5.348,90 (certo). Mas, para os pobres, usa o percentual "cru" sem dividir pelos 10% de população — 1,1 × 1.202 = 1.322,20 (errado; deveria ser 0,11 × 1.202 = 132,22). A diferença 5.348,90 − 1.322,20 = 4.026,70 herda esse erro de assimetria no tratamento dos dois grupos.

E) 5.216,68

✅ Correta: é o único valor que resulta de aplicar corretamente a mesma regra aos dois grupos — dividir o percentual de renda de cada um pela fração populacional de 10% e multiplicar pela renda média geral (R$ 5.348,90 para os ricos e R$ 132,22 para os pobres), subtraindo em seguida os dois resultados: 5.348,90 − 132,22 = 5.216,68.

🏆 Gabarito: E — a diferença entre a renda média dos 10% mais ricos (R$ 5.348,90) e a dos 10% mais pobres (R$ 132,22) é R$ 5.216,68, valor obtido ao normalizar cada percentual de renda pela mesma fração populacional de 10% antes de comparar os grupos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra E nasce de tratar os dois grupos com a mesma regra matemática (percentual de renda dividido pelo percentual de população); todas as demais alternativas aplicam essa regra de forma incompleta ou assimétrica.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente usa dados de distribuição de renda, Índice de Gini e concentração por decil para testar leitura de tabelas/textos combinada com porcentagem — é um tema clássico de Matemática que dialoga com Geografia e Sociologia (desigualdade social).
• Generalização: sempre que um grupo representar uma fração da população e concentrar uma fração diferente de um total (renda, produção, votos etc.), a "intensidade" desse grupo se mede por (% da grandeza) ÷ (% da população), nunca pelo percentual isolado.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas que "batem" com contas de um passo só (como 1.202 × 0,20 ou 1.202 × 0,456): questões de proporção com dois grupos quase sempre exigem duas divisões (uma para cada grupo) antes da subtração final — se a alternativa não passou por essa etapa, é armadilha.
• Conexões: curva de Lorenz e Índice de Gini (Geografia/Sociologia), média ponderada e razão entre grandezas (Matemática), leitura crítica de reportagens com dados estatísticos (Português/Interpretação de Texto).