Questão 155 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (circunferências, tangência e área do círculo)
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas exige "enxergar" a relação de tangência entre três circunferências e traduzi-la corretamente em uma medida de raio
• 🎯 Tema/Habilidade: Tangência entre circunferências e cálculo de área do círculo (Competência de Área 5 do ENEM — grandezas e medidas)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Duas antenas circulares de raio 2 km, tangentes entre si no ponto O, são substituídas por uma única antena cuja área de cobertura é um círculo centrado em O e tangente às duas circunferências antigas. Quanto a área total de cobertura aumentou?"
• Palavras-chave decisivas: tangenciam no ponto O, tangenciará externamente, ampliada
• Armadilha típica: calcular apenas a área do novo círculo (16π) e marcá-la como resposta, esquecendo que a pergunta quer o acréscimo de área — ou seja, é preciso subtrair a área que já existia antes.
• O que a resposta precisa demonstrar: encontrar corretamente o raio do novo círculo a partir da geometria da tangência e, em seguida, calcular a diferença entre a área nova e a soma das duas áreas antigas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Circunferências tangentes externamente: duas circunferências são tangentes externamente quando se tocam em um único ponto e nenhuma invade o interior da outra. Nesse caso, a distância entre os centros é igual à soma dos raios.
• Área do círculo: A = π·r².
• Ponto de tangência e diâmetro: se um ponto P pertence a uma circunferência de raio r e centro C, o ponto da mesma circunferência diametralmente oposto a P está a uma distância de 2r (o diâmetro) de P — essa é a chave geométrica da questão.
• Ampliação de área: "quanto a área aumentou" significa área nova menos área antiga, nunca a área nova isolada.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O" → as duas antenas antigas têm raio r = 2 km e O é exatamente o ponto de contato entre elas — logo O pertence às duas circunferências e está sobre o segmento que une os dois centros.
• Evidência 2: "sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores" (com centro em O, conforme a figura) → o novo círculo precisa envolver cada círculo pequeno por fora, tocando cada um deles em um único ponto, sem cortar sua fronteira — exatamente como mostra a figura, em que a circunferência tracejada maior "abraça" as duas circunferências menores.
• Síntese: como O já está sobre as duas circunferências antigas, o raio do novo círculo é a distância de O até o ponto mais afastado de cada círculo pequeno — e não a distância de O até o centro delas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizando os dados geométricos

Sejam C₁ e C₂ os centros das antenas 1 e 2, ambas com raio r = 2 km. Como as duas circunferências são tangentes externamente em O, os pontos C₁, O e C₂ são colineares, com:

• dist(C₁, O) = dist(O, C₂) = r = 2 km
• dist(C₁, C₂) = 2r = 4 km

Subpasso 4.2 — Determinando o raio R da nova circunferência

A nova antena tem centro em O e sua circunferência deve tangenciar cada círculo pequeno "por fora" — ou seja, tocar o ponto de cada antena antiga que está mais distante de O. Esse ponto é a extremidade do diâmetro da antena que passa por O (o ponto diametralmente oposto a O em cada círculo pequeno). Como o diâmetro de cada antena antiga vale 2r = 4 km, esse ponto está a exatamente 4 km de O — tanto para a antena 1 quanto para a antena 2, por simetria.

Logo, o raio da nova circunferência é:

R = 2r = 2 × 2 = 4 km

Subpasso 4.3 — Calculando as áreas e verificando

• Área da nova cobertura: A_nova = π·R² = π·4² = 16π km²
• Área da cobertura antiga (as duas antenas somadas): A_antiga = 2·(π·r²) = 2·π·2² = 2·4π = 8π km²
• Ampliação de área: ΔA = A_nova − A_antiga = 16π − 8π = 8π km²

Verificação: 8π aparece exatamente como a alternativa A — batendo com o gabarito oficial.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 8π.

✅ Correta: é exatamente o resultado de ΔA = 16π − 8π, obtido a partir do raio correto do novo círculo (R = 4 km) subtraído da soma das duas áreas antigas.

B) 12π.

❌ Incorreta: surge de um erro clássico de subtração incompleta. O estudante acha corretamente R = 4 (A_nova = 16π), mas subtrai a área de apenas uma antena antiga (4π) em vez das duas: 16π − 4π = 12π. Esquece que duas antenas foram substituídas, não uma.

C) 16π.

❌ Incorreta: é a área do novo círculo isolada (π·4²), apresentada como se fosse a resposta final. Esse erro conceitual confunde "área da nova cobertura" com "quanto a área foi ampliada" — ignora completamente que já existia cobertura antes (8π) que precisa ser descontada.

D) 32π.

❌ Incorreta: nasce da confusão entre a fórmula de área do círculo (A = π·r²) e a de comprimento da circunferência (C = 2π·r). Ao calcular "2π·4²" em vez de "π·4²", o estudante obtém 32π — um erro de fórmula, não de raciocínio geométrico.

E) 64π.

❌ Incorreta: resulta de identificar erradamente o raio do novo círculo com a distância total entre os pontos extremos das duas antenas antigas (que é 4 + 4 = 8 km). Esse valor de 8 km é, na verdade, o diâmetro do novo círculo (pois R = 4 km de cada lado de O), não o raio. Usar R = 8 por engano leva a π·8² = 64π, oito vezes maior que a resposta correta.

🏆 Gabarito: A — a área de cobertura foi ampliada em 8π km², pois o novo círculo (raio 4 km, área 16π km²) substitui uma cobertura antiga de 8π km² (duas antenas de raio 2 km), e 16π − 8π = 8π.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A resulta da sequência correta de raciocínio — achar R = 2r pela geometria da tangência e depois subtrair (não apenas calcular) a área antiga da nova.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora usar tangência de circunferências como "disfarce" de um problema de área — a dificuldade real nunca está na fórmula A = π·r², mas em descobrir a medida do raio escondida na figura.
• Generalização: sempre que um ponto de tangência entre duas circunferências de raio r vira o centro de uma nova circunferência que "envolve" as duas por fora, o raio dessa nova circunferência é igual a 2r (o diâmetro das circunferências menores) — um padrão que vale para qualquer par de círculos iguais tangentes entre si.
• Dica de eliminação rápida: se a alternativa reproduzir sozinha a área de um único círculo "bonito" (como 16π, área do círculo maior, ou 4π, área de uma antena), desconfie — a pergunta pede a diferença de áreas, não um valor isolado. Isso já elimina C de cara.
• Conexões: esse mesmo raciocínio de "distância entre centros = soma ou diferença de raios" aparece em questões de posição relativa de circunferências e em problemas de engrenagens, roldanas e faixas de cobertura de sinal (Wi-Fi, rádio, satélites).