Questão 168 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (evento complementar, eventos independentes)
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas exige reconhecer que "pelo menos um" pede a regra do complementar, e não uma soma direta das chances individuais.
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade de eventos independentes e uso do complementar para calcular "pelo menos um sucesso" em experimentos repetidos.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a probabilidade de que pelo menos um dos três alunos consiga entender a pergunta em inglês e respondê-la?"
• Palavras-chave decisivas: qualquer um dos alunos, entendido, respondida
• Armadilha típica: multiplicar 30% por 3 e responder 90%, tratando probabilidades independentes como se fossem quantidades que se somam livremente; ou calcular a chance de exatamente um aluno entender, esquecendo que dois ou três também resolveriam a situação do entrevistador.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da probabilidade do complementar — perceber que "pelo menos um" se resolve calculando 1 − P(nenhum), em vez de somar diretamente eventos que não são mutuamente exclusivos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Eventos independentes: a compreensão de inglês de um aluno não interfere na de outro. Por isso, P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
• Evento complementar: P(pelo menos um sucesso) = 1 − P(nenhum sucesso) — a ferramenta certa sempre que "pelo menos um" aparece, pois evita somar vários casos sobrepostos.
• Regra do "e" para fracassos simultâneos: se cada aluno tem 70% de chance de não entender, a chance de os três, juntos, não entenderem nada é 0,7 × 0,7 × 0,7.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%" → define p = P(sucesso individual) = 0,3 e, por consequência, q = P(fracasso individual) = 1 − 0,3 = 0,7.
• Evidência 2: "faz [...] uma pergunta [...] que pode ser respondida por qualquer um dos alunos" → o entrevistador fica satisfeito se um, dois ou os três alunos conseguirem entender e responder. Não importa quem responde nem quantos — basta que não sejam todos incapazes ao mesmo tempo.
• Síntese: como o evento de interesse é "pelo menos um dos três entende", o caminho mais direto é calcular o complementar — a probabilidade de nenhum dos três entender — e subtrair esse valor de 100%.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir os dados em probabilidades

p = P(um aluno compreende e fala inglês) = 30% = 0,3

q = P(um aluno não compreende) = 1 − 0,3 = 0,7

Os três alunos têm compreensões independentes entre si — o desempenho de um não afeta o dos outros.

Subpasso 4.2 — Calcular a probabilidade do evento complementar (nenhum entende)

P(nenhum dos 3 entende) = q × q × q = 0,7³

0,7³ = 0,7 × 0,7 × 0,7 = 0,49 × 0,7 = 0,343 → 34,3%

Subpasso 4.3 — Aplicar o complementar para achar "pelo menos um entende"

P(pelo menos 1 entende) = 1 − P(nenhum entende) = 1 − 0,343 = 0,657 → 65,7%

Verificação: somando diretamente os casos favoráveis (exatamente 1, 2 e 3 alunos entendem) com os coeficientes binomiais C(3,k):

exatamente 1 = 3×0,3×0,49 = 0,441; exatamente 2 = 3×0,09×0,7 = 0,189; exatamente 3 = 0,027.

Soma: 0,441 + 0,189 + 0,027 = 0,657 = 65,7% ✅ — confirma o resultado por um segundo caminho.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 23,7%

❌ Incorreta: valor abaixo do correto, típico de quem tenta aplicar o complementar mas erra no meio do caminho — combina incorretamente p e q em alguma multiplicação ou não eleva 0,7 ao cubo de forma consistente em todos os termos, subestimando a chance real de sucesso do grupo.

B) 30,0%

❌ Incorreta: repete a probabilidade individual dada no enunciado, como se apenas um aluno estivesse na sala. Ignora que três tentativas independentes aumentam a chance de sucesso do grupo — por isso a resposta não pode coincidir com a probabilidade de um único aluno.

C) 44,1%

❌ Incorreta: é P(exatamente um dos três entende) = C(3,1) × 0,3 × 0,7² = 44,1%, não "pelo menos um". Quem chega aqui armou a probabilidade corretamente, mas parou no caso de um único sucesso e esqueceu de somar os casos em que dois ou os três alunos entendem — que também resolvem a situação do entrevistador.

D) 65,7%

✅ Correta: é exatamente 1 − 0,7³, a probabilidade complementar de que ao menos um dos três alunos compreenda e responda à pergunta, confirmada tanto pelo cálculo direto quanto pela soma dos casos de exatamente 1, 2 e 3 sucessos.

E) 90,0%

❌ Incorreta: soma ingenuamente as probabilidades individuais (3 × 30% = 90%), como se eventos independentes fossem aditivos. O raciocínio é inválido: se p fosse 40%, 3 × 40% daria 120%, valor impossível para uma probabilidade — prova de que multiplicar a chance individual pelo número de alunos nunca é o caminho certo para "pelo menos um".

🏆 Gabarito: D — 65,7% é a probabilidade de que pelo menos um dos três alunos, agindo de forma independente, compreenda e responda à pergunta do entrevistador, obtida por 1 − (0,7)³.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa consistente com o cálculo correto do complementar (1 − 0,7³ = 0,657) e com a soma direta dos casos de exatamente 1, 2 e 3 sucessos, que fecham exatamente em 100% junto com o caso "nenhum entende" (34,3%).
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência a expressão "pelo menos um" (ou "ao menos um", "algum dos") em probabilidade — quase um sinal explícito de que se deve usar o complementar, em vez de somar vários casos favoráveis um a um.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "pelo menos um", calcule P(nenhum) elevando a probabilidade de fracasso individual ao número de tentativas e subtraia de 1 — mais rápido e menos sujeito a erro do que enumerar todos os casos de sucesso.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas que multiplicam a chance individual pelo número de eventos (aqui, 3 × 30% = 90%) — isso pode ultrapassar 100% e nunca é o procedimento correto. Valores que "parecem" a probabilidade de exatamente um sucesso (como 44,1%) também exigem releitura do comando: "exatamente" ou "pelo menos"?
• Conexões: o mesmo raciocínio do complementar aparece em "pelo menos uma face par" em vários lançamentos de dado, "pelo menos um acerto" em testes de múltipla escolha, e em genética, no cálculo da chance de pelo menos um filho herdar certa característica.