Questão 149 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (poliedros, sólidos de Arquimedes, Relação de Euler)
• ⚡ Nível: Médio — exige visualizar mentalmente a transformação de um sólido conhecido (o cubo) após múltiplos cortes simultâneos
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de elementos de um poliedro obtido por truncamento; competência de representação e modelagem geométrica
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas faces (logo, quantas cores) tem o poliedro resultante de cortar os 8 cantos de um cubo?"
• Palavras-chave decisivas: cortes nos vértices, cada um dos cantos do cubo, cor distinta das demais faces
• Armadilha típica: contar só as faces que "sobraram" do cubo (os quadrados) ou só as faces novas (os triângulos), esquecendo que as duas famílias de faces coexistem no poliedro final.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de somar corretamente as faces antigas (transformadas) com as faces novas (criadas pelos cortes), sem contar nada em duplicidade.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Poliedro convexo e seus elementos: todo poliedro tem vértices (V), arestas (A) e faces (F), relacionados pela Relação de Euler: V − A + F = 2, que servirá para verificar o resultado.
• Truncamento de vértice: cortar um vértice com um plano "apara" o canto e o substitui por uma face nova, poligonal — aqui triangular, pois no cubo concorrem 3 arestas em cada vértice.
• Efeito sobre as faces originais: cada face quadrada do cubo tem 4 vértices; cortando os 4 cantos, o quadrado ganha 4 lados novos além dos 4 originais (encurtados), virando um octógono.
• Condição "aresta menor que metade da aresta do cubo": garante que os cortes vizinhos (nas duas pontas de uma mesma aresta) não se encontrem nem se sobreponham, mantendo a contagem de faces limpa.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cortes nos vértices... retira-se o canto, que é um tetraedro" → os 8 vértices do cubo são cortados, e cada corte expõe uma face triangular nova.
• Evidência 2: "arestas menores do que metade da aresta do cubo" → os cortes não se tocam entre si, então cada face quadrada original é remodelada nos 4 cantos, mas continua existindo.
• Evidência 3: "cada face... pintada usando uma cor distinta" → a pergunta é literalmente o número total de faces de P.
• Síntese: basta contar (i) as faces que sobrevivem transformadas do cubo e (ii) as faces novas dos cortes, e somar os dois grupos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — O que acontece com as faces do cubo

O cubo original tem 6 faces quadradas e 8 vértices, todos cortados. Cada face quadrada tem 4 cantos; ao cortar os 4, cada canto perde a ponta e ganha 1 aresta nova no lugar do vértice. A face passa a ter:

4 arestas originais (encurtadas) + 4 arestas novas = 8 lados → um octógono.

Logo, as 6 faces quadradas do cubo viram 6 faces octogonais: 6 faces.

Subpasso 4.2 — As faces novas criadas pelos cortes

Em cada vértice do cubo concorrem exatamente 3 arestas, então o corte plano nesse vértice sempre expõe um triângulo. Como são 8 vértices, e os cortes não se tocam entre si (pela condição do enunciado), surgem:

8 faces triangulares novas

Subpasso 4.3 — Soma e verificação por Euler

Total de faces de P = 6 octógonos + 8 triângulos = 14 faces → 14 cores.

Conferindo com V − A + F = 2: o truncamento gera 24 vértices (3 por corte × 8) e 36 arestas (12 originais encurtadas + 24 novas, 3 por corte). Então 24 − 36 + 14 = 2 ✓, confirmando o valor de 14 faces.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 6

❌ Incorreta: conta só as faces que "restaram" do cubo (os octógonos), ignorando as 8 faces triangulares criadas pelos cortes — como se o truncamento apenas aparasse bordas sem gerar face nova.

B) 8

❌ Incorreta: é o erro simétrico — conta apenas as faces triangulares novas e esquece que as 6 faces quadradas do cubo continuam existindo, transformadas em octógonos.

C) 14

✅ Correta: soma as duas famílias de faces de P — 6 octógonos (das faces do cubo) e 8 triângulos (dos cortes nos vértices) — totalizando 6 + 8 = 14 faces, cada uma com uma cor distinta.

D) 24

❌ Incorreta: confunde "faces" com "vértices" — P realmente tem 24 vértices (3 novos por corte × 8 cortes), mas a pergunta pede faces, não vértices.

E) 30

❌ Incorreta: resulta de somar elementos de categorias diferentes sem critério (por exemplo, 24 vértices + 6 faces originais), em vez de somar apenas as duas famílias de faces.

🏆 Gabarito: C — o poliedro P tem 14 faces (6 octógonos + 8 triângulos), logo são usadas 14 cores distintas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a única contagem que respeita simultaneamente as faces transformadas (octógonos) e as faces criadas (triângulos) é 6 + 8 = 14, tornando a alternativa C a única coerente com a geometria do sólido descrito.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de explorar sólidos "modificados" (cubo truncado, pirâmide com vértice cortado, prisma com cantos aparados) pedindo contagem de faces, arestas ou vértices — sempre testando se o aluno entende que o corte de um vértice cria face nova e transforma (não elimina) as faces vizinhas.
• Generalização: ao truncar todos os vértices de um poliedro convexo, o número de faces do novo sólido é sempre: (nº de faces originais) + (nº de vértices originais), desde que os cortes não se toquem entre si — cada vértice cortado gera exatamente 1 face nova, e cada face original é apenas remodelada, nunca eliminada.
• Dica de eliminação rápida: se a alternativa repete um número "isolado" já presente no enunciado ou na figura do sólido original (como 6, o número de faces do cubo, ou 8, o número de vértices/cortes), desconfie — geralmente é resultado de esquecer uma das duas famílias de faces. A resposta certa quase sempre é a soma desses dois números.
• Conexões: esse raciocínio é a base para entender os sólidos de Arquimedes (como o cubo truncado, um poliedro semirregular clássico) e reaparece em questões que usam a Relação de Euler (V − A + F = 2) para validar contagens de elementos de poliedros.