Questão 161 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria plana (área), razão/proporção e equação do 2º grau
• ⚡ Nível: Difícil — exige traduzir uma malha entrelaçada real em um modelo algébrico de área bidimensional e depois validar fisicamente as raízes de uma equação quadrática
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de área e proporção em padrões periódicos — Competência de área 2 do ENEM (grandezas, medidas e suas relações)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Determine o valor de d (em mm) para que 75% da área do vidro fique coberta pelas fitas entrelaçadas."
• Palavras-chave decisivas: taxa de cobertura, 75%, distância (d – 1) milímetros
• Armadilha típica: usar as medidas do vidro (5 m × 9 m) na conta, tratar a cobertura como algo unidimensional (só uma direção) em vez de bidimensional, ou aceitar as duas raízes da equação sem checar qual delas faz sentido físico.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a fração de área coberta por duas famílias de fitas perpendiculares (sem contar a interseção em dobro) e resolver a equação resultante, descartando a raiz sem sentido no contexto do problema.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Razão entre áreas: a taxa de cobertura é uma proporção (adimensional) entre a área ocupada pelas fitas e a área total do vidro — por isso não depende do tamanho absoluto da peça (5 m × 9 m são irrelevantes para achar d).
• Evento complementar: como cada ponto do vidro está coberto OU descoberto, fração coberta + fração transparente = 1 (100%). É mais simples calcular primeiro a fração transparente.
• Padrão periódico (malha): em cada direção, o bloco "fita de 1 mm + vão de (d – 1) mm" se repete a cada d milímetros — esse d é o período do padrão, exatamente como a figura mostra.
• Equação do 2º grau com restrição de domínio: a equação de cobertura gera duas raízes matemáticas, mas só uma delas respeita a condição física do problema (distância entre fitas ≥ 0).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "fitas de 1 milímetro de largura, tal que a distância entre elas é de (d – 1) milímetros" → o período do padrão (fita + vão) mede exatamente d mm, pois 1 + (d – 1) = d — e a figura confirma isso ao marcar "d" como o intervalo entre fitas consecutivas.
• Evidência 2: "a taxa de cobertura do vidro é o percentual da área da região coberta pelas fitas" → confirma que se trata de uma razão de ÁREAS (bidimensional), e não de comprimentos.
• Evidência 3: "vidro retangular de 5 m de largura por 9 m de comprimento" → como a cobertura é uma proporção, essas medidas absolutas não entram na equação de d; funcionam apenas como distrator clássico de ENEM.
• Síntese: o problema pede para modelar as janelinhas transparentes como uma malha de quadrados de lado (d – 1) mm, repetidos a cada d mm nas duas direções, igualar a cobertura a 75% e resolver para d, escolhendo a raiz compatível com a figura.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando o padrão em uma única direção

Considere só a direção horizontal. O padrão se repete assim: 1 mm de fita (opaca), seguido de (d – 1) mm de vão (aberto), depois outra fita de 1 mm, e assim por diante. O comprimento de um período completo é:

1 + (d – 1) = d mm

Logo, em cada período de d mm, a fração de comprimento ocupada pela fita é 1/d, e a fração livre (vão) é (d – 1)/d. Por simetria, o mesmo vale na direção vertical.

Subpasso 4.2 — Da malha 1D para a área 2D

A luz só atravessa as pequenas "janelinhas" quadradas formadas pelo cruzamento de um vão horizontal com um vão vertical (os quadrados brancos entre as fitas pretas na figura). Como as direções horizontal e vertical são independentes, a fração de ÁREA transparente é o produto das frações lineares livres de cada direção:

Área transparente / Área total = [(d – 1)/d] × [(d – 1)/d] = [(d – 1)/d]²

Portanto, a fração de área coberta (o complementar) é:

Cobertura = 1 – [(d – 1)/d]²

Note que 5 m e 9 m não aparecem nessa expressão: a cobertura é uma proporção e independe do tamanho da peça — por isso essas medidas são apenas contexto da encomenda, não dados de cálculo.

Subpasso 4.3 — Igualando a 75% e resolvendo

1 – [(d – 1)/d]² = 0,75

[(d – 1)/d]² = 0,25

(d – 1)/d = ± 0,5

• Caso 1 (sinal +): (d – 1)/d = 1/2 → 2(d – 1) = d → 2d – 2 = d → d = 2

• Caso 2 (sinal –): (d – 1)/d = –1/2 → 2(d – 1) = –d → 2d – 2 = –d → 3d = 2 → d = 2/3

Subpasso 4.4 — Verificação física e escolha da raiz válida

Pela definição do problema, a distância entre fitas vale (d – 1) mm e precisa ser positiva — a própria figura mostra o intervalo "d" claramente maior do que a fita de 1 mm, ou seja, d > 1.

• Para d = 2/3 mm: a distância seria (2/3 – 1) = –1/3 mm, valor negativo, sem sentido físico (as fitas se sobreporiam). Raiz descartada.

• Para d = 2 mm: a distância é (2 – 1) = 1 mm, valor positivo e coerente com a figura. Raiz válida.

Conferindo: com d = 2, cobertura = 1 – [(2 – 1)/2]² = 1 – (1/2)² = 1 – 1/4 = 3/4 = 75%. ✓ Confere exatamente com o enunciado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2

✅ Correta: é a raiz da equação de cobertura que satisfaz d > 1 (distância positiva entre fitas), e a verificação direta mostra cobertura de exatamente 75%.

B) 3

❌ Incorreta: não é raiz da equação 1 – [(d – 1)/d]² = 3/4. Testando: com d = 3, cobertura = 1 – (2/3)² = 1 – 4/9 = 5/9 ≈ 55,6% ≠ 75%. Esse valor costuma surgir de um erro de sinal ao expandir (d – 1)² = d² – 2d + 1 (trocando o sinal do termo central), o que gera uma equação diferente e empurra a "raiz" para perto de 3.

C) 11/3

❌ Incorreta: também não satisfaz a equação correta — com d = 11/3, (d – 1)/d = (8/3)/(11/3) = 8/11, e a cobertura seria 1 – (8/11)² = 1 – 64/121 = 57/121 ≈ 47% ≠ 75%. É um valor típico de deslize algébrico ao isolar d na equação quadrática 3d² – 8d + 4 = 0 (erro no cálculo do discriminante ou na divisão final pelos coeficientes).

D) 4/3

❌ Incorreta: nasce do erro clássico de tratar a cobertura como fenômeno UNIDIMENSIONAL, e não bidimensional. Ao resolver 1 – (d – 1)/d = 3/4 (sem elevar ao quadrado, como se só existisse uma direção de fitas), chega-se a (d – 1)/d = 1/4 → d = 4/3. Esse raciocínio ignora que a malha cobre em DUAS direções simultâneas, e a área correta é o produto das frações lineares, não a razão linear direta.

E) 2/3

❌ Incorreta: é a segunda raiz, matematicamente válida da mesma equação quadrática, mas fisicamente impossível — geraria uma distância entre fitas de (2/3 – 1) = –1/3 mm, valor negativo que nem a figura nem o enunciado permitem. É a "raiz espúria" clássica que testa se o aluno confere o significado físico das soluções antes de marcar a resposta.

🏆 Gabarito: A — d = 2 mm é a única raiz da equação de cobertura que respeita a condição física do problema (distância positiva entre fitas) e produz exatamente 75% de área coberta.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: das duas raízes algébricas da equação (2 e 2/3), somente d = 2 satisfaz d > 1, tornando-a a única resposta compatível com a figura e com o enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma usar contextos de malhas, tecidos, telas e grades entrelaçadas para cobrar, ao mesmo tempo, geometria de área, razão/proporção, porcentagem e equações do 2º grau — quase sempre embutindo dados numéricos irrelevantes (aqui, as dimensões do vidro) para testar se o aluno filtra a informação necessária.
• Generalização: sempre que um padrão se repete em duas direções perpendiculares independentes, a fração de ÁREA é o PRODUTO das frações lineares de cada direção — nunca a soma simples nem uma proporção "linear" direta.
• Dica de eliminação rápida: descarte de cara qualquer raciocínio que tente usar 5 m ou 9 m diretamente na equação (a cobertura é uma porcentagem e não depende do tamanho do vidro); e sempre que a equação for quadrática, confira o domínio físico de cada raiz antes de escolher — se uma raiz gerar uma medida negativa, ela sai da jogada.
• Conexões: problemas de razão e densidade de cobertura (como "densidade de plantio" ou "malha de peneiras") e resolução de equações do 2º grau com restrição de domínio (raízes espúrias em geometria e física).