Questão 138 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Leitura e interpretação de gráficos, comparação de funções
• ⚡ Nível: Médio — não exige nenhuma conta complicada, mas cobra atenção fina aos dois pontos em que as curvas se cruzam, e é fácil trocar "quem está por cima" em cada trecho.
• 🎯 Tema/Habilidade: Comparar graficamente duas funções (locadoras P e Q) e determinar em que intervalos de distância uma delas produz valor menor ou igual à outra — habilidade de leitura, análise e interpretação de gráficos cartesianos.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Para quais distâncias percorridas o preço cobrado pela locadora Q é menor ou igual ao preço cobrado pela locadora P?"
• Palavras-chave decisivas: menor ou igual, valor pago, intervalos
• Armadilha típica: inverter a leitura (procurar onde P ≤ Q em vez de Q ≤ P) ou esquecer que "≤" inclui os próprios pontos de igualdade — exatamente os pontos onde as duas curvas se tocam no gráfico.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificação correta de TODOS os trechos do eixo x em que a curva de Q está sobre ou abaixo da curva de P, sem trocar as curvas e sem perder nenhum dos dois cruzamentos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Leitura de gráfico cartesiano: cada ponto de uma curva representa um par (distância em km, valor em R$); as linhas pontilhadas de grade servem de régua para estimar coordenadas.
• Comparação ponto a ponto de duas funções: para responder se f(x) ≤ g(x), basta, para cada x, verificar qual curva está posicionada mais abaixo no eixo vertical — não é preciso encontrar a lei de formação de P e Q.
• Pontos de interseção como fronteiras: onde duas curvas se cruzam, os valores são iguais; é exatamente ali que a relação "quem está por cima" se inverte, e por isso esses pontos delimitam os intervalos da resposta.
• Inequação resolvida graficamente: a pergunta algébrica "Q(x) ≤ P(x)" se transforma em uma tarefa visual de comparar alturas das duas curvas ao longo de todo o domínio de 0 a 160 km.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o valor da diária de seus carros depende da distância percorrida, conforme o gráfico" → eixo x = distância percorrida (km); eixo y = valor da diária (R$); cada locadora é representada por uma curva própria.
• Evidência 2: "o valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P" → é preciso encontrar todo x para o qual Q(x) ≤ P(x), ou seja, todo trecho em que a curva rotulada Q está sobre ou por baixo da curva rotulada P.
• Síntese: a tarefa se resume a comparar visualmente as duas curvas do início ao fim do gráfico (0 a 160 km) e listar exatamente os intervalos em que a curva de Q não ultrapassa a curva de P.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Localizando as curvas e os pontos de cruzamento

No gráfico, a curva rotulada P e a curva rotulada Q partem de valores diferentes em x = 0 km: P começa em aproximadamente R$ 65 e Q começa em aproximadamente R$ 40. Logo, no início do percurso, P > Q (Q é mais barata).

Seguindo as curvas para a direita, Q sobe de forma mais acentuada que P nesse trecho inicial, e as duas curvas se encontram pela primeira vez em x ≈ 20 km, com valor y ≈ R$ 80. Esse é o primeiro ponto de interseção.

Subpasso 4.2 — O trecho intermediário (20 a 100 km)

Depois de x = 20 km, é a curva Q que passa a subir mais rápido e assume a posição SUPERIOR no gráfico: por exemplo, em x = 60 km, P vale aproximadamente R$ 100 enquanto Q vale aproximadamente R$ 112; em x = 80 km, P ≈ R$ 113 e Q ≈ R$ 119. Ou seja, em todo o intervalo aberto entre 20 e 100 km, Q fica mais cara que P (Q > P), o que significa que a condição "Q ≤ P" não se verifica nesse trecho.

As duas curvas voltam a se cruzar em x ≈ 100 km, com y ≈ R$ 125-128 — o segundo ponto de interseção.

Subpasso 4.3 — O trecho final (100 a 160 km) e verificação

A partir de x = 100 km, a curva P volta a crescer mais rápido que Q — P sobe de forma praticamente linear até atingir cerca de R$ 160 no fim do gráfico, enquanto Q se achata e termina perto de R$ 140. Logo, para todo x entre 100 e 160 km, P > Q, ou seja, Q ≤ P volta a valer.

Reunindo os dois trechos em que a condição "Q ≤ P" é satisfeita:

[0, 20] ∪ [100, 160]

Isso confere exatamente com o padrão observado: nos extremos do gráfico Q é a opção mais vantajosa (ou empatada), e apenas no miolo (20 a 100 km) ela se torna mais cara que P.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) De 20 a 100.

❌ Incorreta: este é exatamente o intervalo oposto ao correto. Entre 20 e 100 km é onde a curva de Q fica ACIMA da curva de P (Q mais cara), e não onde Q ≤ P. Quem marca essa alternativa inverteu qual curva está por cima nesse trecho.

B) De 80 a 130.

❌ Incorreta: 80 e 130 não são as distâncias (eixo x) onde as curvas se cruzam — são valores próximos do eixo y (R$). O erro típico é confundir a leitura dos eixos: os cruzamentos reais acontecem em x = 20 km e x = 100 km, não em 80 km e 130 km.

C) De 100 a 160.

❌ Incorreta: capta apenas o segundo trecho válido, mas ignora o primeiro. Entre 0 e 20 km a locadora Q também cobra valor menor ou igual ao de P, e essa parte da resposta foi esquecida.

D) De 0 a 20 e de 100 a 160.

✅ Correta: reúne exatamente os dois trechos identificados no Passo 4 — do início do percurso até o primeiro cruzamento (0 a 20 km) e do segundo cruzamento até o fim do gráfico (100 a 160 km) —, que são precisamente os intervalos em que a curva de Q está sobre ou abaixo da curva de P.

E) De 40 a 80 e de 130 a 160.

❌ Incorreta: os limites 40, 80 e 130 não coincidem com nenhum ponto real de cruzamento das curvas (que ocorrem em 20 e 100 km). Além disso, o subintervalo de 40 a 80 km está justamente DENTRO da faixa em que Q é mais cara que P — o oposto do que a questão pede.

🏆 Gabarito: D — os únicos trechos em que a curva de Q permanece sobre ou abaixo da curva de P são de 0 a 20 km (antes do primeiro cruzamento) e de 100 a 160 km (depois do segundo cruzamento).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa D delimita corretamente os dois trechos nos extremos do gráfico (0-20 km e 100-160 km), que são exatamente onde a curva Q não ultrapassa a curva P; todas as demais alternativas erram a distância dos cruzamentos, invertem as curvas ou capturam apenas parte da resposta.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência a comparação de duas funções (lineares, afins ou não) representadas no mesmo plano cartesiano, pedindo o intervalo em que uma é maior, menor ou igual à outra — sem exigir que o candidato encontre as equações das retas/curvas.
• Generalização: sempre que duas curvas de "custo x quantidade" se cruzam mais de uma vez, o sinal da desigualdade entre elas se inverte a cada cruzamento; para responder, basta identificar os pontos de interseção no eixo x e, entre eles, verificar visualmente qual curva está mais alta.
• Dica de eliminação rápida: primeiro localize TODOS os pontos onde as curvas se tocam (aqui, x = 20 e x = 100); qualquer alternativa cujos números não batam com essas distâncias pode ser descartada de imediato — isso elimina B e E em segundos.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de planos de telefonia/internet com faixas de preço variável e em problemas de sistemas de inequações lineares resolvidos graficamente.