Questão 152 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Geométricas (crescimento percentual composto)
• ⚡ Nível: Médio — exige reconhecer que um aumento percentual constante gera crescimento multiplicativo, não aditivo, e traduzir isso em uma fórmula algébrica.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos de crescimento exponencial (PG) a partir de uma taxa percentual constante — competência de resolver situações-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre a fórmula P(t) que dá a produção da fábrica no ano t, sabendo que ela cresce sempre 50% em relação ao ano anterior."
• Palavras-chave decisivas: aumentou a produção em 50%, esse aumento percentual se repita, crescimento anual de 50%
• Armadilha típica: confundir "aumento de 50%" com "aumento de 50% do valor inicial a cada ano" (crescimento linear, somando sempre a mesma quantidade fixa) em vez de "50% do valor do ano anterior" (crescimento exponencial, multiplicando sempre pelo mesmo fator). As alternativas A, B e C exploram exatamente essa armadilha.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da diferença entre progressão aritmética (soma constante) e progressão geométrica (razão constante), além da manipulação correta do expoente em função do índice t.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Crescimento percentual constante: quando uma grandeza aumenta sempre a mesma porcentagem em relação ao valor anterior (e não a mesma quantidade fixa), ela cresce em Progressão Geométrica (PG), não em Progressão Aritmética (PA).
• Fator de crescimento (razão q): um aumento de 50% equivale a multiplicar o valor anterior por (1 + 0,5) = 1,5. Esse número 1,5 é a razão q da PG.
• Termo geral de uma PG: aₙ = a₁ · q^(n−1), em que a₁ é o primeiro termo e n é a posição do termo na sequência.
• Adaptação ao contexto (índice t): aqui o "primeiro termo" é a produção do ano 1 (8 000 unidades) e "t" faz o papel de n, então P(t) = 8 000 · (1,5)^(t−1), válido para t ≥ 1 (t inteiro, pois representa anos).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades" → define o termo inicial da sequência: P(1) = 8 000.
• Evidência 2: "aumentou a produção em 50%" e "esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%" → confirma que a taxa de crescimento é sempre relativa ao valor do ano imediatamente anterior — ou seja, um crescimento composto, característico de PG.
• Evidência 3: "Considere P a quantidade anual... no ano t... para t ≥ 1" → pede uma expressão em função de t, começando em t = 1, o que obriga o expoente a zerar exatamente quando t = 1 (por isso o expoente correto é t − 1, não t).
• Síntese: juntando as três evidências, temos uma sequência geométrica de primeiro termo 8 000 e razão 1,5, cuja lei de formação em função de t é P(t) = 8 000 · (1,5)^(t−1).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir "aumento de 50%" em fator multiplicativo

Se uma grandeza P sofre um aumento de 50%, o novo valor é o valor antigo mais 50% dele mesmo:

P_novo = P_antigo + 0,5 · P_antigo = P_antigo · (1 + 0,5) = P_antigo · 1,5

Logo, cada novo ano corresponde a multiplicar a produção do ano anterior por 1,5. Esse é o ponto central da questão: a relação entre anos consecutivos é uma multiplicação por uma razão fixa, o que caracteriza uma Progressão Geométrica de razão q = 1,5.

Subpasso 4.2 — Construir a sequência e identificar o padrão

• Ano 1: P(1) = 8 000
• Ano 2: P(2) = 8 000 × 1,5 = 8 000 × (1,5)¹
• Ano 3: P(3) = P(2) × 1,5 = 8 000 × 1,5 × 1,5 = 8 000 × (1,5)²
• Ano 4: P(4) = 8 000 × (1,5)³

Percebe-se o padrão: o expoente de 1,5 é sempre uma unidade a menos que o número do ano (t). Isso é exatamente a estrutura do termo geral de uma PG, aₙ = a₁ · q^(n−1), aplicada com t no lugar de n:

P(t) = 8 000 · (1,5)^(t − 1)

Subpasso 4.3 — Verificação

Basta testar t = 1: P(1) = 8 000 · (1,5)^0 = 8 000 · 1 = 8 000 ✓ (bate com o dado do enunciado).

Testando t = 2: P(2) = 8 000 · (1,5)¹ = 12 000, que é exatamente 8 000 + 50% de 8 000 = 8 000 + 4 000 = 12 000 ✓.

A fórmula é consistente com os dados fornecidos e corresponde à alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) P(t) = 0,5 · t − 1 + 8 000

❌ Incorreta: é uma função afim (linear) em t, típica de crescimento aritmético — soma uma parcela fixa proporcional a t. Ignora completamente que o aumento de 50% incide sobre o valor do ano anterior, e não é uma constante somada.

B) P(t) = 50 · t − 1 + 8 000

❌ Incorreta: mesmo erro conceitual da alternativa A (modelo linear), além de usar o número 50 (a porcentagem "crua", sem convertê-la para fator decimal) como se fosse um incremento fixo de unidades por ano — o que não tem respaldo no enunciado.

C) P(t) = 4 000 · t − 1 + 8 000

❌ Incorreta: também é linear. Aqui o autor da questão tenta simular quem calculou "50% de 8 000 = 4 000" e imaginou (erradamente) que esse valor fixo de 4 000 unidades seria somado a cada ano, quando na verdade o crescimento é sobre o valor mais recente, não sobre o valor inicial.

D) P(t) = 8 000 · (0,5)^(t − 1)

❌ Incorreta: reconhece corretamente que se trata de uma PG (estrutura exponencial correta), mas usa razão 0,5 em vez de 1,5. Isso descreveria uma produção decrescendo pela metade a cada ano — o oposto do enunciado, que descreve um crescimento.

E) P(t) = 8 000 · (1,5)^(t − 1)

✅ Correta: representa fielmente uma PG de primeiro termo 8 000 (produção no ano 1) e razão 1,5 (fator de um aumento de 50% ao ano), com o expoente t − 1 garantindo que, quando t = 1, o fator multiplicativo seja 1 e P(1) = 8 000, exatamente como informado no enunciado.

🏆 Gabarito: E — é a única alternativa que traduz corretamente "crescimento de 50% ao ano" como multiplicação sucessiva por 1,5 (razão de uma PG), respeitando a condição P(1) = 8 000.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra E é a única expressão exponencial com razão maior que 1 (1,5), coerente com um crescimento percentual constante e positivo de 50% ao ano.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente testa a diferença entre crescimento linear (juros simples, PA, "aumento fixo por período") e crescimento exponencial (juros compostos, PG, "aumento percentual constante"), usando contextos de produção industrial, população, contaminação ou capital investido.
• Generalização: sempre que o enunciado disser que uma grandeza "aumenta X% em relação ao valor anterior" (ou "ano a ano", "mês a mês"), a modelagem correta é P(t) = P₀ · (1 + X/100)^(t−1) (ou t, dependendo de onde a contagem começa) — nunca uma soma de parcela fixa.
• Dica de eliminação rápida: primeiro, elimine toda alternativa linear/afim (aqui, A, B e C) sempre que o texto mencionar "percentual" ou "%" de crescimento repetido — variação percentual constante é sinônimo de PG, nunca de PA. Depois, entre as exponenciais restantes, verifique o sinal do crescimento: se a produção aumenta, a razão deve ser maior que 1 (elimina a alternativa D, que usa 0,5).
• Conexões: este raciocínio é o mesmo usado em juros compostos (montante M = C · (1 + i)^t) e em problemas de crescimento populacional ou depreciação de bens — dominar PG com contexto percentual resolve uma família inteira de questões do ENEM.