Questão 179 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade em amostragem sem reposição e análise combinatória
• ⚡ Nível: Difícil — exige perceber uma propriedade contraintuitiva de sorteios em múltiplas etapas, não apenas aplicar fórmula
• 🎯 Tema/Habilidade: Probabilidade de eventos sucessivos e cálculo combinatório aplicados à comparação de estratégias de amostragem
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a probabilidade de o atleta suspeito ser sorteado em três procedimentos diferentes de seleção e compare os resultados."
• Palavras-chave decisivas: sortear, modo I, II e III, comparando-se essas probabilidades
• Armadilha típica: achar que sortear primeiro a equipe (Modo II) ou sortear primeiro três equipes (Modo III) "dilui" ou "concentra" a chance do atleta específico, quando na verdade a probabilidade final é idêntica nos três casos.
• O que a resposta precisa demonstrar: o cálculo completo de P(I), P(II) e P(III) usando a regra do produto e/ou combinação, mostrando que as três expressões resultam no mesmo valor numérico.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Amostragem sem reposição: ao escolher k elementos ao acaso, de forma uniforme, dentre N elementos, a probabilidade de um elemento específico estar entre os escolhidos é sempre k/N, independentemente da ordem ou do processo usado para chegar até essa escolha.
• Regra do produto em sorteios sucessivos: quando o sorteio ocorre em etapas encadeadas (primeiro a equipe, depois o atleta), a probabilidade do evento final é o produto das probabilidades de cada etapa, condicionadas à etapa anterior.
• Combinação simples: C(n,p) = n!/[p!(n-p)!] conta subconjuntos de tamanho p entre n elementos, sem ordem — é a base que justifica por que a probabilidade de inclusão de um elemento específico é p/n.
• Simetria do sorteio: como cada atleta e cada equipe têm a mesma chance de serem sorteados, a estrutura em etapas não altera a probabilidade final do indivíduo-alvo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "20 equipes com 10 atletas cada" → define a população total de 200 atletas, base para o Modo I e para a segunda etapa dos Modos II e III.
• Evidência 2: "Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes" → escolha direta de 3 entre 200, sem etapas intermediárias.
• Evidência 3: "Modo II: sortear a equipe e, desta, três atletas" → duas etapas: 1 equipe entre 20, depois 3 atletas entre os 10 da equipe sorteada.
• Evidência 4: "Modo III: sortear três equipes e um atleta de cada" → duas etapas: 3 equipes entre 20, depois 1 atleta de cada uma das 3 equipes escolhidas.
• Síntese: em todos os modos o número final de atletas sorteados é 3, e cada etapa é uniforme. Isso sugere que a chance do suspeito ser escolhido pode ser igual nos três casos — o cálculo deve confirmar isso.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calculando P(I)

No Modo I, sorteiam-se 3 atletas dentre os 200 (20 equipes × 10 atletas), de uma só vez, sem reposição. A probabilidade de o suspeito estar entre os 3 escolhidos é a razão entre os trios que o incluem e o total de trios possíveis:

P(I) = C(1,1) × C(199,2) / C(200,3) = 3/200

(Resultado clássico: em amostra aleatória simples de tamanho k tirada de população N, a chance de um elemento específico pertencer à amostra é sempre k/N.)

Subpasso 4.2 — Calculando P(II)

Duas etapas encadeadas: sorteia-se 1 equipe entre 20 — P(equipe do suspeito) = 1/20 — e depois sorteiam-se 3 atletas entre os 10 dessa equipe — P(suspeito entre os 3) = 3/10. Pela regra do produto:

P(II) = 1/20 × 3/10 = 3/200

Subpasso 4.3 — Calculando P(III) e Verificação Final

Também duas etapas: sorteiam-se 3 equipes entre 20 — P(equipe do suspeito entre as 3) = 3/20 — e de cada equipe sorteada retira-se 1 atleta; se a equipe do suspeito foi sorteada, P(ele ser o escolhido nela) = 1/10. Logo:

P(III) = 3/20 × 1/10 = 3/200

Verificação: os três cálculos, por caminhos estruturalmente diferentes (sorteio direto, cascata equipe→atletas, cascata equipes→atleta), convergem para o mesmo valor: 3/200 = 1,5%. Isso confirma P(I) = P(II) = P(III), batendo com a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) P(I) < P(III) < P(II)

❌ Incorreta: propõe desigualdades estritas, mas as três probabilidades são numericamente idênticas (3/200 cada). Não há relação de "menor que" entre nenhum par.

B) P(II) < P(I) < P(III)

❌ Incorreta: mesmo erro da A — sugere que a estrutura do sorteio em etapas altera a chance final do suspeito, o que contraria o fato de que sorteios uniformes em cascata preservam a probabilidade marginal de k/N.

C) P(I) < P(II) = P(III)

❌ Incorreta: acerta ao igualar P(II) e P(III), mas erra ao supor P(I) menor. P(I) também vale 3/200, igual às outras duas.

D) P(I) = P(II) < P(III)

❌ Incorreta: acerta P(I) = P(II), mas erra ao dizer P(III) maior. Sortear 3 equipes e depois 1 atleta de cada mantém a mesma probabilidade de 3/200, sem vantagem sobre os outros modos.

E) P(I) = P(II) = P(III)

✅ Correta: os três procedimentos, apesar de estruturalmente distintos, resultam na mesma probabilidade de 3/200. Em qualquer sorteio uniforme sem reposição, a chance de um elemento específico ser incluído na amostra final depende só da razão (tamanho da amostra)/(tamanho da população), não de como o processo foi dividido em etapas.

🏆 Gabarito: E — os três modos de sorteio, embora pareçam gerar chances diferentes à primeira vista, produzem exatamente a mesma probabilidade (3/200) de o atleta suspeito ser selecionado, pois cada etapa do processo é uniforme e a amostra final tem sempre 3 atletas dentro de uma população de 200.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como P(I) = P(II) = P(III) = 3/200 foi demonstrado por três caminhos de cálculo independentes, só a alternativa E — igualdade completa entre as três probabilidades — é compatível.
• Padrão de cobrança: o ENEM testa se o aluno confunde "processo de sorteio mais complexo" com "resultado probabilístico diferente"; esse tipo de questão pede comparação entre cenários, não só um cálculo isolado.
• Generalização: em qualquer sorteio aleatório uniforme e sem reposição, dividido em quantas etapas forem, a probabilidade de um elemento específico ser incluído na amostra final é sempre k/N (amostra final sobre população original), desde que cada etapa trate os elementos elegíveis com a mesma chance.
• Dica de eliminação rápida: ao ver desigualdades estritas misturadas com igualdades, calcule duas das três probabilidades com P = (tamanho da amostra)/(tamanho da população); se baterem, desconfie que a terceira também bate e procure a alternativa de igualdade total.
• Conexões: o raciocínio se conecta a probabilidade condicional e a amostragem estatística, onde planos amostrais diferentes podem ter propriedades equivalentes — algo essencial para interpretar pesquisas e experimentos.