Questão 145 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Aritmética (Divisibilidade e Máximo Divisor Comum)
• ⚡ Nível: Médio — a conta em si é simples, mas o candidato precisa perceber que "minimizar o número de escolas" exige encontrar o maior divisor comum, não qualquer divisor comum
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação do MDC (Máximo Divisor Comum) na resolução de problemas de otimização com distribuição em partes iguais
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Distribuindo 400 ingressos (sessão vespertina) e 320 ingressos (sessão noturna) em lotes iguais, sem sobra, qual é a menor quantidade possível de escolas contempladas?"
• Palavras-chave decisivas: mesmo número de ingressos, não haverá sobra, número mínimo de escolas
• Armadilha típica: o aluno lembra que precisa de um "divisor comum" de 400 e 320, mas escolhe um divisor qualquer (por exemplo 10, 16 ou 20) em vez do maior divisor comum possível — e como o número de escolas é inversamente proporcional ao tamanho do lote, usar um divisor menor gera mais escolas, não menos.
• O que a resposta precisa demonstrar: o cálculo do MDC(400, 320) e a soma correta das escolas de cada sessão (400 ÷ MDC + 320 ÷ MDC).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Divisor comum: número inteiro que divide exatamente dois ou mais valores, sem deixar resto. Se um número n divide 400 e também divide 320, ele é um divisor comum desses dois números.
• MDC (Máximo Divisor Comum): o maior entre todos os divisores comuns de dois (ou mais) números. Pode ser obtido por fatoração em primos ou pelo algoritmo de Euclides (divisões sucessivas).
• Relação MDC ↔ otimização de lotes: quando é preciso repartir quantidades diferentes em grupos do mesmo tamanho, sem sobra, o maior tamanho de grupo possível é justamente o MDC das quantidades. Como número de grupos = quantidade total ÷ tamanho do grupo, usar o MDC (o maior tamanho possível) automaticamente produz o menor número de grupos.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão" → os 400 ingressos da sessão vespertina e os 320 da sessão noturna são repartidos separadamente entre escolas diferentes; nenhuma escola mistura os dois lotes.
• Evidência 2: "todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos" → o tamanho do lote, chamado aqui de n, é único e vale tanto para as escolas da sessão vespertina quanto para as da sessão noturna — não pode haver uma quantidade para um grupo e outra quantidade para o outro.
• Evidência 3: "não haverá sobra de ingressos" → n precisa dividir exatamente 400 e exatamente 320, isto é, n é um divisor comum dos dois números.
• Síntese: o número de escolas é dado por (400 ÷ n) + (320 ÷ n) = (400 + 320) ÷ n = 720 ÷ n. Para que esse total seja o mínimo, n deve ser o máximo divisor comum possível entre 400 e 320 — ou seja, n = MDC(400, 320).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o MDC(400, 320)

Por fatoração em números primos:

400 = 2⁴ × 5²

320 = 2⁶ × 5¹

O MDC é formado pelos fatores comuns elevados ao menor expoente:

MDC = 2⁴ × 5¹ = 16 × 5 = 80

Confirmando pelo algoritmo de Euclides (divisões sucessivas):

400 = 1 × 320 + 80

320 = 4 × 80 + 0 (resto zero → o último divisor não nulo, 80, é o MDC)

Logo, o maior lote possível que pode ser entregue a cada escola, sem sobra e com o mesmo valor nas duas sessões, é de 80 ingressos por escola.

Subpasso 4.2 — Calcular o número de escolas em cada sessão

• Sessão vespertina: 400 ÷ 80 = 5 escolas
• Sessão noturna: 320 ÷ 80 = 4 escolas

Número mínimo total de escolas:

5 + 4 = 9 escolas

Repare que esse resultado é o mesmo que se obtém dividindo o total geral de ingressos pelo MDC: (400 + 320) ÷ 80 = 720 ÷ 80 = 9 — um atalho útil para conferir a conta.

Subpasso 4.3 — Verificação

Para confirmar que 80 é realmente o maior divisor comum (e não um valor intermediário), basta testar se existe algum divisor comum maior que 80: os divisores de 400 maiores que 80 são 100, 200, 400; nenhum deles divide 320 exatamente (320 ÷ 100 = 3,2; 320 ÷ 200 = 1,6). Portanto 80 é, de fato, o maior tamanho de lote possível, e 9 é o menor número de escolas alcançável. O valor 9 aparece entre as alternativas — é a alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2.

❌ Incorreta: corresponderia a imaginar que basta dar todos os 400 ingressos a uma única escola e todos os 320 a outra única escola. Isso satisfaz o critério de "sem sobra", mas viola diretamente o critério 2 — a escola da sessão vespertina receberia 400 ingressos e a da sessão noturna receberia 320, quantidades diferentes. Como o enunciado exige que todas as escolas contempladas recebam o mesmo número de ingressos, esse cenário é impossível.

B) 4.

❌ Incorreta: é exatamente o resultado de 320 ÷ 80, ou seja, o número de escolas apenas da sessão noturna. Quem chega a essa alternativa calculou corretamente o MDC, mas esqueceu de somar as 5 escolas da sessão vespertina (400 ÷ 80), entregando uma resposta parcial do problema.

C) 9.

✅ Correta: é a soma do número mínimo de escolas nas duas sessões, obtida ao usar o maior lote possível (o MDC = 80 ingressos por escola): 5 escolas na sessão vespertina + 4 escolas na sessão noturna = 9 escolas, que é o menor total compatível com os três critérios do enunciado.

D) 40.

❌ Incorreta: surge de um erro de otimização — se o candidato usar um divisor comum válido, porém menor que o MDC (por exemplo, n = 10, que também divide 400 e 320), obtém 400 ÷ 10 = 40 escolas somente na sessão vespertina. É um divisor comum legítimo, mas não o máximo, e por isso gera um número de escolas muito maior que o necessário — o erro conceitual é não perceber que minimizar escolas exige maximizar o tamanho do lote.

E) 80.

❌ Incorreta: é o valor do MDC, ou seja, o número de ingressos que cada escola recebe, não o número de escolas. É um erro clássico de confundir a grandeza calculada no meio do processo (o tamanho do lote) com a grandeza pedida no comando da questão (a quantidade de escolas).

🏆 Gabarito: C — o número mínimo de escolas é obtido dividindo 400 e 320 pelo maior divisor comum entre eles (MDC = 80), resultando em 5 escolas na sessão vespertina e 4 na sessão noturna, totalizando 9 escolas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como o número de escolas é inversamente proporcional ao tamanho do lote entregue, e o maior lote possível sem sobra é o MDC(400, 320) = 80, o menor número de escolas é necessariamente 400 ÷ 80 + 320 ÷ 80 = 9, o que só é compatível com a alternativa C.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra o MDC quase sempre em contextos de "repartir em grupos iguais, sem sobra, minimizando o número de grupos" (ingressos, produtos em caixas, azulejos em uma parede, funcionários em equipes). Já o MMC costuma aparecer em problemas de eventos periódicos que se repetem juntos (ônibus que saem juntos, sinais luminosos, encontros de ciclos). Reconhecer qual dos dois se aplica é a chave da questão.
• Generalização: sempre que o problema pedir o maior tamanho de grupo (ou, equivalentemente, o menor número de grupos) que divide duas ou mais quantidades sem deixar resto, a ferramenta correta é o MDC das quantidades envolvidas — nunca um divisor comum qualquer.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o MDC dos números do enunciado. Se ele aparecer sozinho entre as alternativas (como o 80 aqui), desconfie — é a "quantidade por grupo", não a "quantidade de grupos", e é um distrator clássico. Descarte também qualquer alternativa que resulte de dividir apenas uma das partes do total (como o 4 ou o 40 aqui), pois ignora metade da distribuição.
• Conexões: o mesmo raciocínio de MDC aparece em problemas de "menor número de pacotes/caixas para embalar sem sobra" e se conecta ao MMC em questões de "quando dois eventos periódicos coincidem novamente" — vale revisar os dois lado a lado, pois o ENEM adora testar se o candidato sabe diferenciar quando usar cada um.