Questão 146 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (Volume do Cilindro)
• ⚡ Nível: Médio — a fórmula do volume é simples, mas a questão exige um segundo passo de raciocínio (calcular o aumento do raio, não o raio novo em si), o que costuma derrubar quem lê rápido demais.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de volume de sólidos geométricos e resolução de equação do 2º grau incompleta — Competência de Área 7 (H27: resolver situação-problema envolvendo conhecimentos geométricos de volume).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quanto o raio precisa crescer para que o cilindro passe a comportar 81 m³, mantendo a mesma altura de 3 m?"
• Palavras-chave decisivas: mantendo a altura da atual, aumento no raio, 81 m³
• Armadilha típica: calcular corretamente o raio da nova cisterna e marcar esse valor diretamente como resposta, esquecendo que a questão pede a diferença entre o raio novo e o raio atual — não o raio novo isolado.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de (1) extrair o raio atual a partir do diâmetro, (2) isolar o raio novo na fórmula do volume do cilindro e (3) interpretar corretamente que "aumento" significa uma subtração entre dois raios, não um valor absoluto.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cilindro: V = π · r² · h, em que r é o raio da base e h é a altura. É a fórmula-chave de toda a questão.
• Relação raio-diâmetro: o raio é sempre metade do diâmetro (r = D/2). Confundir os dois é o erro mais comum em geometria espacial no ENEM.
• Equação do 2º grau incompleta: ao isolar r² = V/(π·h), a solução física exige extrair a raiz quadrada positiva (raio não pode ser negativo).
• Interpretação de "aumento": quando o problema pede a variação de uma grandeza, o resultado é sempre uma subtração (valor final − valor inicial), nunca o valor final isolado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro" → define os dados da cisterna atual: h = 3 m e, como diâmetro = 2 m, o raio atual é r₁ = 1 m.
• Evidência 2: "deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual" → a nova cisterna tem o mesmo h = 3 m, mas outro raio r₂, e seu volume deve ser exatamente 81 m³ — a altura é a variável que permanece fixa, isolando o raio como a única incógnita.
• Evidência 3: "Qual deve ser o aumento, em metros, no raio" → a pergunta não é "qual o novo raio?", e sim "quanto o raio cresceu?" — a resposta final é r₂ − r₁, não r₂.
• Síntese: o caminho de resolução é: (1) achar r₁ pelo diâmetro dado; (2) usar V = π r² h com os dados da nova cisterna para achar r₂; (3) subtrair r₁ de r₂ para responder exatamente o que foi perguntado.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar o raio da cisterna atual

O diâmetro informado é 2 m, logo:

r₁ = D/2 = 2/2 = 1 m

Esse é o raio da cisterna que será desativada, e serve como referência para calcular o "aumento" pedido no final.

Subpasso 4.2 — Isolar o raio da nova cisterna usando o volume desejado

A nova cisterna mantém a altura h = 3 m e deve ter volume V = 81 m³. Usando π ≈ 3,0 (conforme instruído no enunciado):

V = π · r₂² · h

81 = 3,0 · r₂² · 3

81 = 9 · r₂²

r₂² = 81 ÷ 9 = 9

r₂ = √9 = 3 m

(Descarta-se a raiz negativa, pois raio é uma medida de comprimento e não pode ser negativo.)

Subpasso 4.3 — Calcular o aumento pedido e verificar

O aumento no raio é a diferença entre o raio novo e o raio atual:

Δr = r₂ − r₁ = 3 − 1 = 2 m

Verificação: com r₂ = 3 m e h = 3 m, o volume da nova cisterna é V = 3,0 × 3² × 3 = 3,0 × 9 × 3 = 81 m³ ✓. Bate exatamente com o enunciado, e o valor 2,0 m corresponde à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 0,5

❌ Incorreta: esse valor surge de um erro clássico de troca entre raio e diâmetro na etapa da nova cisterna. Se alguém usar o diâmetro (em vez do raio) diretamente na fórmula — ou seja, escrever V = π·D²·h em vez de V = π·r²·h — obtém 81 = 3·D₂²·3, logo D₂² = 9 e D₂ = 3. Só que esse "3" representa um diâmetro, não um raio: o raio novo correto seria D₂/2 = 1,5 m. Subtraindo do raio atual (1 m), chega-se a 0,5 m — um valor que mistura as duas grandezas geométricas e não representa fisicamente o aumento pedido.

B) 1,0

❌ Incorreta: resulta de usar o diâmetro fornecido (2 m) como se já fosse o raio atual, sem dividi-lo por 2. Com essa premissa errada, o raio "atual" vira 2 m; ao calcular corretamente o raio novo (3 m, como no Subpasso 4.2) e subtrair, obtém-se 3 − 2 = 1 m. O erro está na origem — confundir diâmetro com raio logo no primeiro dado do problema — e não na fórmula do volume, que foi aplicada certa na segunda etapa.

C) 2,0

✅ Correta: é exatamente o valor obtido em Δr = r₂ − r₁ = 3 − 1 = 2 m, com r₁ = 1 m extraído corretamente do diâmetro (2 m) e r₂ = 3 m extraído corretamente da equação 81 = 3·r₂²·3. Nenhuma etapa aqui envolve confusão entre raio e diâmetro, e a verificação por substituição confirma o volume de 81 m³.

D) 3,5

❌ Incorreta: esse valor aparece quando se confunde a fórmula do volume do cilindro com a fórmula da área lateral (superfície lateral), que é A = 2·π·r·h em vez de V = π·r²·h. Aplicando por engano essa fórmula: 81 = 2·3·r₂·3 = 18·r₂, logo r₂ = 4,5 m. Subtraindo o raio atual: 4,5 − 1 = 3,5 m. O erro conceitual é gravíssimo — trocar uma grandeza de volume (m³) por uma de área (m²) — mas produz um número "redondo" que engana quem não presta atenção às unidades.

E) 8,0

❌ Incorreta: surge de esquecer a raiz quadrada ao isolar r² na equação do volume. Depois de chegar em r₂² = 9, um erro de pressa é tratar esse "9" como se já fosse o próprio raio (r₂ = 9) em vez de extrair a raiz quadrada (r₂ = √9 = 3). Com r₂ = 9 (errado) e r₁ = 1, o "aumento" calculado seria 9 − 1 = 8 m — um valor absurdo para o contexto (o raio quase quadriplicaria em uma cisterna doméstica), o que já deveria soar como sinal de alerta durante a prova.

🏆 Gabarito: C — o raio precisa passar de 1 m para 3 m para que o volume do cilindro atinja 81 m³ com altura fixa de 3 m, o que representa um aumento de exatos 2,0 m.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa C nasce de um cálculo sem nenhuma troca de grandezas (raio ↔ diâmetro) ou de fórmulas (volume ↔ área lateral) — todas as demais alternativas correspondem a um erro conceitual específico e identificável, como mostrado no Passo 5.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextualizar volume de cilindro com situações cotidianas (cisternas, silos, latas, piscinas) e quase sempre inclui, de propósito, um dado em diâmetro para testar se o candidato sabe convertê-lo em raio antes de aplicar a fórmula.
• Generalização: sempre que o problema pedir "quanto aumentou/diminuiu" alguma grandeza, resolva primeiro os dois valores (inicial e final) separadamente e só depois subtraia — nunca entregue o valor final como se fosse a variação.
• Dica de eliminação rápida: assim que extrair o raio atual (1 m) e o raio novo (3 m), o aumento só pode ser 2 m; qualquer alternativa muito distante disso (como 8,0) já é descartável de cara por bom senso de grandeza, sem nem revisar a conta.
• Conexões: essa questão dialoga diretamente com problemas de volume de prismas e cones (mesma lógica de isolar a incógnita na fórmula) e com questões de escala/proporção, em que se pede o fator de crescimento de uma dimensão a partir da variação de volume.