Questão 144 — ENEM 2015Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana: área do trapézio e área do retângulo (comparação de figuras)
• ⚡ Nível: Fácil — exige apenas duas fórmulas de área e uma subtração; a dificuldade real está em ler corretamente qual medida é base e qual é altura nos esquemas
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolver situação-problema envolvendo cálculo e comparação de áreas de figuras planas em contexto real (Competência de Área 2 — Matemática)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a área do garrafão antes (trapézio) e depois (retângulo) e diga de quanto foi a variação — e se ela é aumento ou diminuição."
• Palavras-chave decisivas: alteração na área, cada garrafão, aumento/diminuição
• Armadilha típica: a altura do trapézio é a medida de 580 cm — a que aponta para dentro da quadra, ligando a linha de fundo à linha do lance livre. Quem olha a figura no automático assume que 600 cm (a medida vertical no desenho) é a altura, porque "altura parece ser a de cima para baixo". Não é: no trapézio deitado do Esquema I, 600 cm e 360 cm são as bases paralelas, e 580 cm é a distância entre elas — ou seja, a altura.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato lê a figura corretamente, aplica a fórmula do trapézio sem esquecer o "÷ 2" e compara as duas áreas, atentando ao sinal da variação.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do trapézio: A = (B + b) × h ÷ 2, onde B é a base maior, b é a base menor e h é a distância perpendicular entre as duas bases paralelas. O fator ÷ 2 é o erro campeão de omissão — e o ENEM sempre coloca uma alternativa esperando por ele.
• Área do retângulo: A = base × altura.
• Interpretação geométrica do "÷ 2": repare que (B + b) ÷ 2 é a média das bases. Então o trapézio tem exatamente a mesma área de um retângulo cuja base é a média das bases do trapézio e de mesma altura. Guardar isso transforma a comparação desta questão numa conta de cabeça, como se verá no Subpasso 4.3.
• Identificar base e altura numa figura girada: "altura" não significa "a medida desenhada na vertical". Altura é sempre a medida perpendicular às bases paralelas. No Esquema I, as bases (600 e 360) estão na vertical e a altura (580) está na horizontal — a figura está "deitada".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (Esquema I — garrafão antigo, o trapézio cinza): as duas medidas paralelas são 600 cm (junto à linha de fundo, a base maior) e 360 cm (junto à linha do lance livre, a base menor); entre elas, a medida 580 cm → este é o trapézio: B = 600 cm, b = 360 cm, h = 580 cm.
• Evidência 2 (Esquema II — garrafão novo, o retângulo cinza): as medidas indicadas são 490 cm e 580 cm → este é o retângulo: 490 cm × 580 cm.
• Evidência 3 (a constante escondida): a medida 580 cm aparece nos dois esquemas, inalterada → o comprimento do garrafão (da linha de fundo até a linha do lance livre) não mudou com a reforma da FIBA. O que mudou foi só a "largura" da figura — e é essa constância que abre o caminho para a solução rápida.
• Síntese: a comparação se dá entre um trapézio de bases 600 e 360 e altura 580, e um retângulo de lados 490 e 580. Como a medida 580 é comum às duas figuras, o problema se reduz a comparar a média das bases do trapézio com a largura do retângulo.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Área do garrafão antigo (trapézio)

Aplicando a fórmula do trapézio com B = 600 cm, b = 360 cm e h = 580 cm:

A₁ = (B + b) × h ÷ 2

A₁ = (600 + 360) × 580 ÷ 2

A₁ = 960 × 580 ÷ 2

A₁ = 480 × 580

A₁ = 278 400 cm²

> Detalhe da conta: 480 × 580 = 480 × 500 + 480 × 80 = 240 000 + 38 400 = 278 400.

Subpasso 4.2 — Área do garrafão novo (retângulo)

A₂ = base × altura

A₂ = 490 × 580

A₂ = 490 × 580 = 284 200

A₂ = 284 200 cm²

> Detalhe da conta: 580 × 490 = 580 × 500 − 580 × 10 = 290 000 − 5 800 = 284 200.

Agora a variação:

ΔA = A₂ − A₁ = 284 200 − 278 400 = +5 800 cm²

O resultado é positivo, logo houve aumento de 5 800 cm².

Subpasso 4.3 — Verificação (o caminho de 10 segundos)

Vale conferir o resultado por um segundo caminho, muito mais rápido — e que serve de checagem independente. Como o "÷ 2" da fórmula do trapézio equivale a tomar a média das bases, as duas figuras podem ser vistas como retângulos de mesma altura 580 cm:

• Trapézio ≡ retângulo de largura (600 + 360) ÷ 2 = 480 cm, altura 580 cm
• Retângulo novo: largura 490 cm, altura 580 cm

Mesma altura nas duas figuras! Então a diferença de área depende só da diferença de largura:

ΔA = 580 × (490 − 480) = 580 × 10 = 5 800 cm²

Os dois métodos batem: aumento de 5 800 cm², o que corresponde à alternativa A. Repare como a média das bases (480) ficou abaixo da largura do novo retângulo (490) — é por isso que a área cresceu, e por pouco.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) aumento de 5 800 cm².

✅ Correta: é exatamente ΔA = 284 200 − 278 400 = 5 800 cm², confirmado pelo caminho alternativo 580 × (490 − 480) = 5 800 cm². O sinal positivo indica aumento, coerente com o fato de a largura efetiva do garrafão ter passado de 480 cm (média das bases do trapézio) para 490 cm.

B) aumento de 75 400 cm².

❌ Incorreta: resulta de tratar o garrafão antigo como um retângulo de base menor, usando só 360 cm e ignorando a base de 600 cm: 360 × 580 = 208 800, e daí 284 200 − 208 800 = 75 400. O erro é desprezar que a figura antiga é um trapézio — ela se alarga em direção à linha de fundo, e essa parte que se alarga foi simplesmente esquecida no cálculo.

C) aumento de 214 600 cm².

❌ Incorreta: vem de subtrair as bases em vez de somá-las na fórmula do trapézio: (600 − 360) ÷ 2 × 580 = 120 × 580 = 69 600, e então 284 200 − 69 600 = 214 600. A fórmula do trapézio pede a soma das bases (é a média delas que dá a largura equivalente); a diferença entre as bases não tem qualquer significado de área.

D) diminuição de 63 800 cm².

❌ Incorreta: decorre de tratar o garrafão antigo como um retângulo de base maior, usando só os 600 cm: 600 × 580 = 348 000, e daí 284 200 − 348 000 = −63 800. Esse erro superestima a área antiga (o trapézio não mantém os 600 cm ao longo de todo o comprimento — ele estreita até 360 cm), e por isso inverte o sinal da resposta, sugerindo uma redução que não existe.

E) diminuição de 272 600 cm².

❌ Incorreta: é o erro clássico de esquecer o "÷ 2" da fórmula do trapézio: (600 + 360) × 580 = 960 × 580 = 556 800, e então 284 200 − 556 800 = −272 600. Sem dividir por 2, a área do trapézio sai dobrada, o que produz um resultado absurdo — uma área maior que a de um retângulo de 600 cm × 580 cm, impossível para uma figura que cabe dentro dele.

🏆 Gabarito: A — o trapézio tem área (600 + 360) × 580 ÷ 2 = 278 400 cm² e o retângulo, 490 × 580 = 284 200 cm²; a diferença é de +5 800 cm², ou seja, um aumento de 5 800 cm².

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: com a altura 580 cm comum às duas figuras, a área depende só da largura efetiva — que passou de 480 cm (média entre 600 e 360) para 490 cm. Como 490 > 480, a área cresceu, e cresceu 580 × 10 = 5 800 cm². Nenhuma outra alternativa é compatível com esse raciocínio.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra área de figuras planas quase sempre em contexto real (quadras, terrenos, telhados, painéis solares, pisos) e quase sempre por comparação — "quanto aumentou", "quanto sobrou", "quantos m² a mais". As unidades costumam vir em cm e os números, grandes, para punir erro de escala.
• Generalização: todo trapézio equivale, em área, a um retângulo de mesma altura cuja base é a média das bases. Sempre que você precisar comparar um trapézio com um retângulo de mesma altura, não calcule as duas áreas: compare direto a média das bases com o lado do retângulo e multiplique a diferença pela altura comum. É a diferença entre 10 segundos e 2 minutos de prova.
• Dica de eliminação rápida: antes de calcular, decida só o sinal. A média das bases do trapézio é (600 + 360) ÷ 2 = 480 cm; o retângulo novo tem 490 cm. Como 490 > 480 e a altura é a mesma, a área só pode ter aumentado — o que elimina D e E de imediato, sem uma conta sequer. Em seguida, note que a mudança foi pequena (de 480 para 490 cm, uns 2%), o que torna implausíveis os saltos de 75 400 cm² (B) e 214 600 cm² (C). Sobra A.
• Conexões: áreas de polígonos (paralelogramo, losango, trapézio) e sua decomposição em retângulos e triângulos; conversão de unidades de área (1 m² = 10 000 cm², logo o aumento equivale a 0,58 m² por garrafão); e problemas de comparação de áreas em plantas baixas e terrenos, recorrentes na prova.